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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.29

Der hier rechts stehende Ausdruck stellt nun, wenn $a$ die Werte $1$, $2$, …, $l-1$, und wenn die Exponenten $a_{1}$, $a_{2}$, …, $a_{l-2}$ unabhängig voneinander die Werte $0$, $1$, $2$, …, $l-1$ durchlaufen, $(l-1)l^{l-2}$ Zahlen dar, und diese sind sämtlich zu ${\mathfrak {l}}$ prim und einander inkongruent nach ${\mathfrak {l}}^{l}$. Mit Benutzung der Kongruenz $N_{k}(1+\lambda {\mathsf {M}})\equiv 1+\lambda ^{l}$ nach ${\mathfrak {l}}^{l+1}$ und weiter der Kongruenzen (73) schließen wir hieraus, daß genau der $l$-te Teil aller zu ${\mathfrak {l}}$ primen und nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ einander inkongruenten Zahlen Normenreste des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}$ liefert, und übertragen dann dieses Resultat sogleich auf den Fall der Potenzen ${\mathfrak {l}}^{e}$ mit Exponenten $e=l+1$ bez. $e>l+1$.

Das nämliche Resultat ergibt sich durch entsprechende Rechnungen auch dann, wenn $\mu \equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ genommen wird, und damit ist der Satz 150 in allen Teilen bewiesen. Es sei jedoch bemerkt, daß wir es in unseren späteren Entwickelungen so einrichten können, daß der Satz 150 lediglich für den oben ausführlich bewiesenen Fall $\mu \equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ zur Verwendung gelangt.

Der Satz 150 bringt eine neue, tief eingreifende Eigenschaft der in der Relativdiskriminante des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ in bezug auf $k(\zeta )$ aufgehenden Primideale ${\mathfrak {w}}$ zum Ausdruck. Diese Eigenschaft entspricht gewissermaßen dem bekannten Satze über die Verzweigungspunkte einer Riemannschen Fläche, wonach eine algebraische Funktion in der Umgebung eines Verzweigungspunktes $l$-ter Ordnung den Vollwinkel auf den $l$-ten Teil desselben konform abbildet. Infolgedessen nenne ich die in der Relativdiskri-minante von $k({\mathsf {M}},\zeta )$ in bezug auf $k(\zeta )$ aufgehenden Primideale ${\mathfrak {w}}$ auch Verzweigungsideale für den Körper $k({\mathsf {M}},\zeta )$; es bedeuten hier also „Primfaktor der Relativdiskriminante“ und „Verzweigungsideal“ den nämlichen Begriff, und die Verzweigungsideale sind die $l$-ten Potenzen der ambigen Primideale.

§ 130. Das Symbol $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}$.

Der Satz 150 weist uns auf die Möglichkeit hin, die nach einer Potenz ${\mathfrak {w}}^{e}$ ($e>l$ im Falle ${\mathfrak {w}}={\mathfrak {l}}$) vorhandenen, einander inkongruenten Zahlen des Körpers $k(\zeta )$ in $l$ Abteilungen zu sondern, die sämtlich gleich viele Zahlen enthalten, und von denen eine die Normenreste nach ${\mathfrak {w}}$ umfaßt. Um diese Sonderung in übersichtlicher Weise vornehmen zu können, führe ich ein neues Symbol $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}$ ein, welches zwei beliebigen, von $0$ verschiedenen ganzen Zahlen $\nu$, $\mu$ des Körpers $k(\zeta )$ in bezug auf ein beliebiges Primideal ${\mathfrak {w}}$ in $k(\zeta )$ jedesmal eine bestimmte $l$-te Einheitswurzel zuweist, und zwar geschieht dies in folgender Weise:

Es sei zunächst ${\mathfrak {w}}$ ein von ${\mathfrak {l}}$ verschiedenes Primideal. Ist dann $\nu$ genau durch ${\mathfrak {w}}^{b}$ und $\mu$ genau durch ${\mathfrak {w}}^{a}$ teilbar, so bilde man die Zahl $\varkappa ={\frac {\nu ^{a}}{\mu ^{b}}}$

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 264. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/281&oldid=- (Version vom 9.10.2016)