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wo , , …, gewisse ganze Zahlen in bedeuten. Wir haben ferner

,

wo zur Abkürzung

gesetzt ist. Nun ergibt sich sofort . Die einzelnen Summanden in den Ausdrücken für , , …, sind sämtlich jedenfalls durch teilbar, sie lassen sich ferner in Aggregate von je Summanden zusammenfassen, die aus einem beliebigen unter ihnen durch die Substitutionen , , , …, hervorgehen; setzen wir nun ein beliebiges Glied in der Gestalt an, so bedeutet eine ganze Zahl in und kann daher, wie aus dem Beweise des Hilfssatzes 23 bervorgebt, als ganze rationale Funktion von und mithin auch von dargestellt werden, deren Koeffizienten ganze oder gebrochene Zahlen in mit lauter zu primen Nennern sind. Setzen wir dementsprechend , so läßt sich das betreffende Aggregat von Summanden in die Form.

bringen; die hier in der Klammer stehende Summe fällt, wie leicht ersichtlich, stets kongruent nach aus; danach müssen nun die Zahlen , , …, sämtlich kongruent nach sein, also wird

, . (78)

Endlich ergeben sich leicht die Kongruenzen

,  (79)

für , .

Nun genügt offenbar jede zu prime ganze Zahl in einer Kongruenz von der Gestalt

wo eine der Zahlen , , …, , und wo die Exponenten , , …, bestimmte Zahlen aus der Reihe , , , …, sind. Wegen der vorhin aufgestellten Kongruenzen (77), (78), (79) folgt hieraus:

, .
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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 263. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/280&oldid=- (Version vom 23.10.2016)