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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.29

wo $\varrho _{1}$, $\varrho _{2}$, …, $\varrho _{l-2}$ gewisse ganze Zahlen in $k(\zeta )$ bedeuten. Wir haben ferner

$N_{k}(1+\Omega ^{l-1})=1+\Sigma _{1}+\Sigma _{2}+\Sigma _{3}+\cdots +\Sigma _{l-1}+N_{k}(\Omega ^{l-1})$,

wo zur Abkürzung

${\begin{aligned}\Sigma _{1}&=\Omega ^{l-1}+(S\Omega )^{l-1}+\cdots +(S^{l-1}\Omega )^{l-1},\\\Sigma _{2}&=\Omega ^{l-1}(S\Omega )^{l-1}+\Omega ^{l-1}(S^{2}\Omega )^{l-1}+\cdots +(S^{l-2}\Omega )^{l-1}(S^{l-1}\Omega )^{l-1},\\\Sigma _{3}&=\Omega ^{l-1}(S\Omega )^{l-1}(S^{2}\Omega )^{l-1}+\cdots +(S^{l-3}\Omega )^{l-1}(S^{l-2}\Omega )^{l-1}(S^{l-1}\Omega )^{l-1},\\&\;\vdots \end{aligned}}$

gesetzt ist. Nun ergibt sich sofort $\textstyle \Sigma _{1}=l$. Die einzelnen Summanden in den Ausdrücken für $\Sigma _{2}$, $\Sigma _{3}$, …, $\Sigma _{l-1}$ sind sämtlich jedenfalls durch ${\mathfrak {L}}^{l}$ teilbar, sie lassen sich ferner in Aggregate von je $l$ Summanden zusammenfassen, die aus einem beliebigen unter ihnen durch die Substitutionen $1$, $S$, $S^{2}$, …, $S^{l-1}$ hervorgehen; setzen wir nun ein beliebiges Glied in der Gestalt $\lambda \Phi$ an, so bedeutet $\Phi$ eine ganze Zahl in $k({\mathsf {M}},\zeta )$ und kann daher, wie aus dem Beweise des Hilfssatzes 23 bervorgebt, als ganze rationale Funktion von $\Omega$ und mithin auch von ${\mathsf {M}}$ dargestellt werden, deren Koeffizienten ganze oder gebrochene Zahlen in $k(\zeta )$ mit lauter zu ${\mathfrak {l}}$ primen Nennern sind. Setzen wir dementsprechend $\Phi =F({\mathsf {M}})$, so läßt sich das betreffende Aggregat von $l$ Summanden in die Form.

$\lambda \left\{F({\mathsf {M}})+F(\zeta {\mathsf {M}})+F(\zeta ^{2}{\mathsf {M}})+\cdots +F(\zeta ^{l-1}{\mathsf {M}})\right\}$

bringen; die hier in der Klammer stehende Summe fällt, wie leicht ersichtlich, stets kongruent $0$ nach $l$ aus; danach müssen nun die Zahlen $\Sigma _{2}$, $\Sigma _{3}$, …, $\Sigma _{l-1}$ sämtlich kongruent $0$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ sein, also wird

$N_{k}(1+\Omega ^{l-1})\equiv 1+l+\lambda ^{l-1}\equiv 1$, $({\mathfrak {l}}^{l})$.

(78)

Endlich ergeben sich leicht die Kongruenzen

$N_{k}(1+\lambda ^{t}\Omega ^{g})\equiv 1$, $({\mathfrak {l}}^{l})$

(79)

für $t=1,2,3,\ldots$, $g=1,2,3,\ldots ,l-1$.

Nun genügt offenbar jede zu ${\mathfrak {L}}$ prime ganze Zahl in $k({\mathsf {M}},\zeta )$ einer Kongruenz von der Gestalt

${\begin{alignedat}{3}{\mathsf {A}}\equiv a&(1+\Omega )^{a_{1}}&&(1+\Omega ^{2})^{a_{2}}&&\cdots (1+\Omega ^{l-1})^{a_{l-1}}\cdot \\&(1+\lambda \Omega )^{a'_{1}}&&(1+\lambda \Omega ^{2})^{a'_{2}}&&\cdots (1+\lambda \Omega ^{l-1})^{a'_{l-1}}\cdot \\&&\vdots &&&\ddots \qquad \vdots \\&(1+\lambda ^{l-1}\Omega )^{a_{1}^{(l-1)}}&&(1+\lambda ^{l-1}\Omega ^{2})^{a_{2}^{(l-1)}}&&\cdots (1+\lambda ^{l-1}\Omega ^{l-1})^{a_{l-1}^{(l-1)}},\qquad ({\mathfrak {l}}^{l}),\end{alignedat}}$

wo $a$ eine der Zahlen $1$, $2$, …, $l-1$, und wo die $l(l-1)$ Exponenten $a_{1}$, $a_{2}$, …, $a_{l-1}^{(l-1)}$ bestimmte Zahlen aus der Reihe $0$, $1$, $2$, …, $l-1$ sind. Wegen der vorhin aufgestellten Kongruenzen (77), (78), (79) folgt hieraus:

$N_{k}({\mathsf {A}})\equiv a^{l}(1+\lambda +\lambda ^{2}\varrho _{1})^{a_{1}}(1+\lambda ^{2}+\lambda ^{3}\varrho _{2})^{a_{2}}\cdots (1+\lambda ^{l-2}+\lambda ^{l-1}\varrho _{l-2})^{a_{l-2}}$, $({\mathfrak {l}}^{l})$.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 263. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/280&oldid=- (Version vom 23.10.2016)