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wo , , …, gewisse ganze Zahlen in bedeuten. Endlich ist

,  (76)

für , , , …; , , , …, . Nun genügt offenbar jede zu prime ganze Zahl des Körpers einer Kongruenz von der Gestalt

wo eine bestimmte der Zahlen , , …, und die Exponenten , , …, bestimmte ganze rationale Zahlen aus der Reihe , , , …, sind. Wegen der Kongruenzen (75) und (76) folgt daher: . Der Ausdruck rechter Hand stellt, wenn die Werte , , …, und die Exponenten , , …, unabhängig voneinander je die Werte , , , …, durchlaufen, genau Zahlen dar, und diese sind, wie leicht ersichtlich, alle einander inkongruent nach . Nun ist jede zu prime Zahl in , welche der Relativnorm einer Zahl in kongruent nach ist, notwendig einem Ausdruck dieser Gestalt nach kongruent, und umgekehrt ist auch jeder Ausdruck von dieser Gestalt, wie man aus (75) entnimmt, der Relativnorm einer Zahl in nach kongruent. Mit Hilfe der Kongruenzen (73) erkennt man, daß zwei nach kongruente, zu prime Zahlen in stets gleichzeitig Normenrest oder Normennichtrest nach sind. Die Anzahl der Normenreste nach , welche zu prim und untereinander inkongruent nach sind, ist also genau gleich , d. i. gleich dem -ten Teil der nach möglichen inkongruenten, zu primen Zahlen in , und dieses Resultat kann sofort auf die Potenzen mit Exponenten ausgedehnt werden.

Von den übrigen möglichen Annahmen über werde hier der Kürze wegen nur die einfachste behandelt; es werde nämlich nach zugrunde gelegt. Setzen wir dann , so ist eine durch , aber nicht durch teilbare ganze Zahl in , und wenn wir berücksichtigen, daß nach wird, so erkennen wir durch eine leichte Rechnung die Richtigkeit der Kongruenzen

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 262. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/279&oldid=- (Version vom 25.10.2016)