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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.29

wo $\varrho _{1}$, $\varrho _{2}$, …, $\varrho _{l-1}$ gewisse ganze Zahlen in $k(\zeta )$ bedeuten. Endlich ist

$N_{k}(1+\lambda ^{t}{\mathsf {M}}^{g})\equiv 1$, $({\mathfrak {l}}^{l+1})$

(76)

für $t=1$, $2$, $3$, …; $g=0$, $1$, $2$, …, $l-1$. Nun genügt offenbar jede zu ${\mathfrak {L}}$ prime ganze Zahl ${\mathsf {A}}$ des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ einer Kongruenz von der Gestalt

${\begin{alignedat}{3}{\mathsf {A}}\equiv a&(1+{\mathsf {M}})^{a_{1}}&&(1+{\mathsf {M}}^{2})^{a_{2}}&\ldots &(1+{\mathsf {M}}^{l-1})^{a_{l-1}}\\&(1+\lambda {\mathsf {M}})^{{a'}_{1}}&&(1+\lambda {\mathsf {M}}^{2})^{{a'}_{2}}&\ldots &(1+\lambda {\mathsf {M}}^{l-1})^{{a'}_{l-1}}\\&&&\vdots &\ddots &\qquad \vdots \\&(1+\lambda ^{l}{\mathsf {M}})^{a_{1}^{(l)}}&&(1+\lambda ^{l}{\mathsf {M}}^{2})^{a_{2}^{(l)}}&\ldots &(1+\lambda ^{l}{\mathsf {M}}^{l-1})^{a_{l-1}^{(l)}},\qquad ({\mathfrak {l}}^{l+1}),\end{alignedat}}$

wo $a$ eine bestimmte der Zahlen $1$, $2$, …, $l-l$ und die $(l+1)(l-1)$ Exponenten $a_{1}$, $a_{2}$, …, $a_{l-1}^{(l)}$ bestimmte ganze rationale Zahlen aus der Reihe $0$, $1$, $2$, …, $l-1$ sind. Wegen der Kongruenzen (75) und (76) folgt daher: $N_{k}({\mathsf {A}})\equiv a^{l}(1+\lambda +\lambda ^{2}\varrho _{1})^{a_{1}}(1+\lambda ^{2}+\lambda ^{3}\varrho _{2})^{a_{2}}\ldots (1+\lambda ^{l-1}+\lambda ^{l}\varrho _{l-1})^{a_{l-1}},\quad ({\mathfrak {l}}^{l+1})$. Der Ausdruck rechter Hand stellt, wenn $a$ die Werte $1$, $2$, …, $l-1$ und die Exponenten $a_{1}$, $a_{2}$, …, $a_{l-1}$ unabhängig voneinander je die Werte $0$, $1$, $2$, …, $l-1$ durchlaufen, genau $(l-1)l^{l-1}$ Zahlen dar, und diese sind, wie leicht ersichtlich, alle einander inkongruent nach ${\mathfrak {l}}^{l+1}$. Nun ist jede zu ${\mathfrak {l}}$ prime Zahl in $k(\zeta )$, welche der Relativnorm $N_{k}({\mathsf {A}})$ einer Zahl ${\mathsf {A}}$ in $k({\mathsf {M}},\zeta )$ kongruent nach ${\mathfrak {l}}^{l+1}$ ist, notwendig einem Ausdruck dieser Gestalt nach ${\mathfrak {l}}^{l+1}$ kongruent, und umgekehrt ist auch jeder Ausdruck von dieser Gestalt, wie man aus (75) entnimmt, der Relativnorm einer Zahl in $k({\mathsf {M}},\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}^{l+1}$ kongruent. Mit Hilfe der Kongruenzen (73) erkennt man, daß zwei nach ${\mathfrak {l}}^{l+1}$ kongruente, zu ${\mathfrak {l}}$ prime Zahlen in $k(\zeta )$ stets gleichzeitig Normenrest oder Normennichtrest nach ${\mathfrak {l}}$ sind. Die Anzahl der Normenreste nach ${\mathfrak {l}}$, welche zu ${\mathfrak {l}}$ prim und untereinander inkongruent nach ${\mathfrak {l}}^{l+1}$ sind, ist also genau gleich $(l-1)l^{l-1}$, d. i. gleich dem $l$-ten Teil der nach ${\mathfrak {l}}^{l+1}$ möglichen inkongruenten, zu ${\mathfrak {l}}$ primen Zahlen in $k(\zeta )$, und dieses Resultat kann sofort auf die Potenzen ${\mathfrak {l}}^{e}$ mit Exponenten $e>l+1$ ausgedehnt werden.

Von den übrigen möglichen Annahmen über $\mu$ werde hier der Kürze wegen nur die einfachste behandelt; es werde nämlich $\mu \equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ zugrunde gelegt. Setzen wir dann $\Omega ={\mathsf {M}}-1$, so ist $\Omega$ eine durch ${\mathfrak {L}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {L}}^{2}$ teilbare ganze Zahl in $k({\mathsf {M}},\zeta )$, und wenn wir berücksichtigen, daß $N_{k}(\Omega )\equiv \lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ wird, so erkennen wir durch eine leichte Rechnung die Richtigkeit der Kongruenzen

$\left.{\begin{aligned}\mathrm {d.\,i.} \qquad {\begin{aligned}N_{k}(1+\Omega )^{\color {white}l-2\color {black}}\\N_{k}(1+\Omega )^{\color {white}l-2\color {black}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}&\equiv 1+\lambda ,\\&\equiv 1+\lambda +\lambda ^{2}\varrho _{1},\end{aligned}}\\\mathrm {d.\,i.} \qquad {\begin{aligned}N_{k}(1+\Omega ^{2})^{\color {white}l-\color {black}}\\N_{k}(1+\Omega ^{2})^{\color {white}l-\color {black}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}&\equiv 1+\lambda ^{2},\\&\equiv 1+\lambda ^{2}+\lambda ^{3}\varrho _{2},\end{aligned}}\\&\;\,\vdots \\\mathrm {d.\,i.} \qquad {\begin{aligned}N_{k}(1+\Omega ^{l-2})\\N_{k}(1+\Omega ^{l-2})\end{aligned}}&{\begin{aligned}&\equiv 1+\lambda ^{l-2},\\&\equiv 1+\lambda ^{l-2}+\lambda ^{l-1}\varrho _{l-2},\end{aligned}}\end{aligned}}\quad {\begin{aligned}({\mathfrak {l}}^{2}),\\({\mathfrak {l}}^{l}),\\({\mathfrak {l}}^{3}),\\({\mathfrak {l}}^{l}),\\\,\\({\mathfrak {l}}^{l-1}),\\({\mathfrak {l}}^{l}),\end{aligned}}\right\}$

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Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 262. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/279&oldid=- (Version vom 25.10.2016)