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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.29

daß $\Omega _{g}$ eine ganze Zahl in $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ ist, so wird

$N_{k}(\Omega _{g})\equiv {\frac {N_{k}({\mathsf {A}}_{g})}{N_{k}({\mathsf {A}}_{g+1})}}\equiv 1+\lambda ^{g}$, $({\mathfrak {l}}^{g+1})$.

Da eine solche Formel für jeden positiven Exponenten $g$ möglich ist, so zeigt sich wie vorhin, daß jede zu ${\mathfrak {l}}$ prime Zahl Normenrest des Körpers $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ ist.

Wir gehen jetzt zum Beweise der zweiten Hälfte von Satz 150 über. Es sei zunächst ${\mathfrak {w}}$ ein von $l$ verschiedenes, in der Relativdiskriminante des Körpers $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ in bezug auf $k(\zeta )$ aufgehendes Primideal des Körpers $k(\zeta )$; wir haben dann nach Satz 149 ${\mathfrak {w}}={\mathfrak {W}}^{l}$, wo ${\mathfrak {W}}$ ein Primideal in $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ ist. Jede ganze Zahl des Körpers $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ muß dann, wie schon mehrfach erwähnt wurde, einer ganzen Zahl in $k(\zeta )$ nach ${\mathfrak {W}}$ kongruent sein. Soll nun eine gegebene, zu ${\mathfrak {w}}$ prime ganze Zahl $\nu$ in $k(\zeta )$ nach ${\mathfrak {w}}$ kongruent der Relativnorm $N_{k}({\mathsf {A}})$ einer ganzen Zahl ${\mathsf {A}}$ in $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ sein, und setzen wir ${\mathsf {A}}\equiv \alpha$ nach ${\mathfrak {W}}$, so folgt notwendig $\nu \equiv \alpha ^{l}$ nach ${\mathfrak {W}}$, und daher auch nach ${\mathfrak {w}}$, d. h. $\nu$ ist $l$-ter Potenzrest nach ${\mathfrak {w}}$. Umgekehrt, wenn eine Zahl $\nu$ in $k(\zeta )$ ein $l$-ter Potenzrest nach ${\mathfrak {w}}$ ist, so ist $\nu$ offenbar auch kongruent einer Relativnorm $N_{k}({\mathsf {A}})$ nach ${\mathfrak {w}}$. Wir entnehmen hieraus, daß die $l$-ten Potenzreste nach ${\mathfrak {w}}$ auch zugleich die sämtlichen Normenreste des Körpers $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ nach ${\mathfrak {w}}$ liefern.

Es bleibt endlich die Behandlung des Falles übrig, daß ${\mathfrak {w}}={\mathfrak {l}}$ ist und ${\mathfrak {l}}$ in der Relativdiskriminante des Körpers $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ aufgeht. Wir haben in diesem Falle ${\mathfrak {l}}={\mathfrak {L}}^{l}$, wo ${\mathfrak {L}}$ ein Primideal in $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ ist, und können es im Hinblick auf Satz 148 stets einrichten, daß die Zahl $\mu$ entweder der Kongruenz

$\mu \equiv \lambda$, $({\mathfrak {l}}^{2})$

oder einer der folgenden Kongruenzen genügt:

$\mu \equiv 1+\lambda ^{m}$, $({\mathfrak {l}}^{m+1})$,

wo $m$ einen der Werte $1,2$, …, $l-1$ bedeutet. Wir wollen alsdann untersuchen, welche Zahlen in $k(\zeta )$ es in diesen zwei Fällen gibt, die kongruent der Relativnorm einer Zahl in $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}^{l+1}$ bez. ${\mathfrak {l}}^{l}$ sind, und entnehmen hieraus leicht die Anzahl der nach jeder höheren Potenz von ${\mathfrak {l}}$ einander inkongruenten Normenreste.

Im Falle $\mu \equiv \lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ ist ${\mathsf {M}}$ durch ${\mathfrak {L}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {L}}^{2}$ teilbar, und es gelten die Kongruenzen

$\left.{\begin{aligned}\mathrm {d.\,i.} \qquad {\begin{aligned}N_{k}(1+{\mathsf {M}})^{\color {white}l-2\color {black}}\\N_{k}(1+{\mathsf {M}})^{\color {white}l-2\color {black}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}&\equiv 1+\lambda ,\\&\equiv 1+\lambda +\lambda ^{2}\varrho _{1},\end{aligned}}\\\mathrm {d.\,i.} \qquad {\begin{aligned}N_{k}(1+{\mathsf {M}}^{2})^{\color {white}l-\color {black}}\\N_{k}(1+{\mathsf {M}}^{2})^{\color {white}l-\color {black}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}&\equiv 1+\lambda ^{2},\\&\equiv 1+\lambda ^{2}+\lambda ^{3}\varrho _{2},\end{aligned}}\\&\;\,\vdots \\\mathrm {d.\,i.} \qquad {\begin{aligned}N_{k}(1+{\mathsf {M}}^{l-1})\\N_{k}(1+{\mathsf {M}}^{l-1})\end{aligned}}&{\begin{aligned}&\equiv 1+\lambda ^{l-1},\\&\equiv 1+\lambda ^{l-1}+\lambda ^{l}\varrho _{l-2},\end{aligned}}\end{aligned}}\quad {\begin{aligned}({\mathfrak {l}}^{2}),\\({\mathfrak {l}}^{l+1}),\\({\mathfrak {l}}^{3}),\\({\mathfrak {l}}^{l+1}),\\\,\\({\mathfrak {l}}^{l-1}),\\({\mathfrak {l}}^{l+1}),\end{aligned}}\right\}$

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 261. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/278&oldid=- (Version vom 2.7.2019)