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Folgerungen aus Satz 139 gibt es in genau zu prime -te Potenzreste nach ; sind diese nach durch , …, vertreten, so fallen die Zahlen

 

sämtlich nach untereinander inkongruent aus, da nicht -ter Potenzrest nach ist, und es ist also jede zu prime Zahl in einer dieser Zahlen nach kongruent. Setzen wir , …, nach , so daß , …, ebenfalls Zahlen in sind, so folgt

, ,

und es ist also jede zu prime Zahl in der Norm einer geeigneten Zahl in nach kongruent; hieraus schließt man weiter, ähnlich wie im vorigen Falle, daß zu jeder zu primen ganzen Zahl in auch in bezug auf eine beliebig hohe Potenz von stets eine ganze Zahl des Körpers gefunden werden kann, deren Relativnorm nach der Zahl kongruent ist.

Wir wollen nun den ersten Teil des Satzes 150 auch für den Fall beweisen, dabei können wir zu prim annehmen; wir bezeichnen mit die höchste in enthaltene Potenz von , wobei jedenfalls sein wird, und setzen

, ,

wo eine ganze rationale, zu prime Zahl bedeuten soll. Ist dann eine ganze rationale Zahl mit der Kongruenzeigenschaft nach , und setzen wir , so wird

, . (72)

Andererseits gelten die Kongruenzen

, , (73)

wo eine jede positive ganze rationale Zahl und eine jede positive ganze rationale zu prime Zahl sein kann. Da die Relativdiskriminante des Körpers in bezug auf im gegenwärtig zu untersuchenden Falle den Faktor nicht enthalten soll, so ist nach Satz 148 notwendig .

Es sei zunächst . Man entnimmt dann leicht aus den Kongruenzen (72) und (73), daß zu jeder beliebigen positiven ganzen rationalen Zahl stets eine ganze Zahl in gefunden werden kann derart, daß die Kongruenz

, 
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 259. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/276&oldid=- (Version vom 2.10.2016)