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Beweis. Es sei zunächst ein in der Relativdiskriminante des Körpers nicht aufgehendes und von verschiedenes Primideal des Kreiskörpers ; dann sind zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem in zerlegbar ist oder nicht. Im ersteren Falle sei ein in aufgehendes Primideal des Kummerschen Körpers . Im Hinblick auf den Beweis zu Satz 148 können wir, ohne dadurch eine Beschränkung einzuführen, annehmen; es sei und mithin auch die Relativdiskriminante der Zahl in bezug auf nicht durch teilbar; es gibt dann gewiß im Körper ein System von ganzen Zahlen , …, , für welche die Kongruenzen

erfüllt sind. Nun ist offenbar jede ganze Zahl des Körpers nach einer ganzen Zahl in kongruent; setzen wir

, , …, , ,

so daß , , …, ganze Zahlen in sind, und

,

so ergibt sich daher

, , ,

und durch Multiplikation folgt nach und daher auch nach . Damit ist unter der gegenwärtigen Annahme über das Primideal der erste Teil des Satzes für den Fall bewiesen. Um zu den Fällen überzugehen, nehmen wir an, es sei nach , und setzen dann

, ,

so daß dabei eine ganze, durch , aber nicht durch teilbare Zahl in bedeutet. Die ganze Zahl , wobei eine ganze rationale, der Kongruenz nach genügende Zahl sein soll, erfüllt dann die Bedingung nach . Durch die gehörige Fortsetzung des hier eingeschlagenen Verfahrens gelangen wir schließlich zu einer ganzen Zahl in , deren Relativnorm in bezug auf der Zahl nach einer beliebig hohen Potenz kongruent ist.

Es sei andererseits im Körper nicht weiter zerlegbar; wir können es wiederum einrichten, daß nicht durch teilbar sei, und es ist dann nach Satz 149 jedenfalls kein -ter Potenzrest nach . Nach den

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 258. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/275&oldid=- (Version vom 26.9.2016)