ersten Grades in
wird, so können wir diese ganze Zahl kongruent
nach
setzen, so daß
eine ganze rationale Zahl bedeutet; dann folgt, wenn
als Bezeichnung der Relativnorm in bezug auf
dient, die Kongruenz
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d. h.
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es ist mithin
. Diese Tatsachen beweisen auch für das Primideal
den letzten Teil des Satzes 149.
Durch den Satz 149 haben wir ein einfaches Mittel erlangt, um die im Beweise des Satzes 93 aufgezählten drei Arten von Primidealen eines Körpers in Hinsicht auf einen relativ-zyklischen Oberkörper von einem Primzahlrelativgrade für den vorliegenden Fall der Körper
und
zu unterscheiden.
29. Die Normenreste und Normennichtreste des Kummerschen Körpers.
§ 129. Die Definition der Normenreste und Normennichtreste.
Es sei, wie in § 125,
eine Zahl des Kreiskörpers
‚ für welche
nicht in
liegt, und es bedeute
den durch
und
bestimmten Kummerschen Körper; für eine Zahl
in
werde die Relativnorm in bezug auf
mit
bezeichnet. Es sei
ein beliebiges Primideal des Kreiskörpers
und
eine beliebige ganze Zahl in
. Wenn dann
nach
der Relativnorm einer ganzen Zahl des Körpers
kongruent ist, und wenn außerdem auch für jede höhere Potenz von
stets eine, solche ganze Zahl
im Körper
gefunden werden kann, daß
nach jener Potenz von
ausfällt, so nenne ich
einen Normenrest des Kummerschen Körpers
nach
. In jedem anderen Falle nenne ich
einen Normennichtrest des Kummerschen Körpers
nach
.
§ 130. Der Satz von der Anzahl der Normenreste. Die Verzweigungsideale.
Es gilt der folgende wichtige Satz:
Satz 150. Wenn
ein Primideal des Kreiskörpers
ist, das nicht in der Relativdiskriminante des Kummerschen Körpers
aufgeht, so ist jede zu
prime Zahl
in
Normenrest des Kummerschen Körpers
nach
.
Wenn dagegen
ein Primideal des Kreiskörpers
ist, das in der Relativdiskriminante des Kummerschen Körpers
aufgeht, und
im Falle
ein beliebiger positiver Exponent, im Falle
ein beliebiger Erxponent
ist, so sind von allen vorhandenen, zu
primen und nach
einander inkongruenten Zahlen in
genau der
-te Teil Normenreste nach
.