des Körpers
nach
kongruent gesetzt werden kann; setzen wir insbesondere
nach
, wo
in
liegen soll, so folgt
nach
, und da
eine Zahl in
ist, so muß
auch nach
sein, d. h. es gilt
. Damit ist zugleich für ein von
verschiedenes Primideal
der letzte Teil des Satzes 149 vollständig bewiesen.
Was endlich das Primideal
anbetrifft, so gilt, falls die Relativdiskriminante des Körpers
in bezug auf
durch
nicht teilbar ist, für die Zahl
dem Satze 148 gemäß eine Kongruenz von der Gestalt
, ,
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wo
eine ganze rationale Zahl bedeutet. Soll nun
, d. h.
durch
teilbar sein, so folgt daraus eine Kongruenz von der Gestalt
, ,
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wo
wiederum eine ganze rationale Zahl bedeutet. Ist hierin
nicht durch
teilbar, so setzen wir
; ist dagegen
durch
teilbar, so setzen wir
, dann folgt
, .
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Demnach genügt die Zahl
stets einer Kongruenz
, ,
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wo nun
eine ganze rationale, nicht durch
teilbare Zahl bedeutet, und hieraus folgt, wenn
und
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gesetzt wird, für
die Zerlegung
.
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Wegen
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ist
von
verschieden, und daher sind auch alle
Primideale
,
, …,
untereinander verschieden.
Umgekehrt, wenn
eine Zerlegung dieser Art im Kummerschen Körper
gestattet, so stimmen nach einer oben gemachten und, wie dort erwähnt, auch für
zutreffenden Bemerkung die Normen von
in
und von
in
überein, und es muß daher jede ganze Zahl des Körpers
einer ganzen Zahl des Körpers
nach
kongruent sein. Da
alsdann nach Satz 93 gewiß nicht in der Relativdiskriminante des Körpers
in bezug auf
enthalten ist, so können wir nach Satz 148
nach
setzen, und demgemäß ist
eine ganze Zahl. Da
ein Primideal