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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.28

Potenz eines Primideals oder zerlegbar in $l$ voneinander verschiedene Primideale oder selbst Primideal, je nachdem $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {p}}}\right\}=0$ oder $=1$ oder gleich einer von $1$ verschiedenen $l$-ten Einheitswurzel ausfällt.

Beweis. Der erste Teil dieses Satzes bezieht sich auf die in der Relativdiskriminante des Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ aufgehenden Primideale; dieselben sind nach Satz 93 ambig. Hieraus oder aus dem Beweise des Satzes 148 ergibt sich für diese Primideale die Richtigkeit der Behauptung.

Wenn ${\mathfrak {p}}$ ein nicht in der Relativdiskriminante des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ aufgehendes Primideal ist, so möge $\mu ^{*}$ eine durch ${\mathfrak {p}}$ nicht teilbare ganze Zahl von der Art sein, daß der Quotient ${\frac {\mu ^{*}}{\mu }}$ gleich der $l$-ten Potenz einer Zahl in $k(\zeta )$ ist. Der Körper $k({\mathsf {M}},\zeta )$ wird dann auch durch ${\mathsf {M}}^{*}={\sqrt[{l}]{\mu ^{*}}}$ und $\zeta$ festgelegt.

Wir untersuchen zunächst den Fall, daß ${\mathfrak {p}}\neq {\mathfrak {l}}$ ist. Wenn dann $\left\{{\frac {\mu ^{*}}{\mathfrak {p}}}\right\}=1$ ausfällt, so ist nach Satz 139 die Zahl $\mu ^{*}$ ein $l$-ter Potenzrest nach ${\mathfrak {p}}$. Wir bestimmen, was offenbar möglich ist, eine ganze Zahl $\alpha$ in $k(\zeta )$ derart, daß

$\mu ^{*}\equiv \alpha ^{l}$, $({\mathfrak {p}})$ und $\mu ^{*}\not \equiv \alpha ^{l}$, $({\mathfrak {p}}^{2})$

wird; alsdann bilden wir die relativ konjugierte Ideale

${\begin{aligned}{\mathfrak {P}}&=({\mathfrak {p}},{\mathsf {M}}^{*}-\alpha ),\\S{\mathfrak {P}}&=({\mathfrak {p}},\zeta {\mathsf {M}}^{*}-\alpha ),\\&\,\vdots \\S^{l-1}{\mathfrak {P}}&=({\mathfrak {p}},\zeta ^{l-1}{\mathsf {M}}^{*}-\alpha )\end{aligned}}$

und erhalten leicht

${\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}\cdot S{\mathfrak {P}}\cdots S^{l-1}{\mathfrak {P}}$.

Wegen

$({\mathfrak {P}},S{\mathfrak {P}})=({\mathfrak {p}},{\mathsf {M}}^{*}-\alpha ,\zeta {\mathsf {M}}^{*}-\alpha )=1$

ist $S{\mathfrak {P}}$ von ${\mathfrak {P}}$, und folglich sind alle $l$ Primfaktoren ${\mathfrak {P}}$, $S{\mathfrak {P}}$, ..., $S^{l-1}{\mathfrak {P}}$ des Ideals ${\mathfrak {p}}$ untereinander verschieden. Das Primideal $p$ in $k(\zeta )$ gehört also zu der zweiten der drei im Beweise zu Satz 93 aufgezählten Arten von Primidealen des Unterkörpers: es zerfällt in $k({\mathsf {M}},\zeta )$ in $l$ voneinander verschiedene Primideale. Umgekehrt, wenn ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ des Körpers $k(\zeta )$, wo jetzt ${\mathfrak {p}}$ auch $={\mathfrak {l}}$ sein kann, in $l$ voneinander verschiedene Primideale ${\mathfrak {P}}$, $S{\mathfrak {P}}$, ..., $S^{l-1}{\mathfrak {P}}$ des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ zerfällt, so wird, wenn $p$ die durch ${\mathfrak {p}}$ teilbare rationale Primzahl und $N({\mathfrak {P}})=p^{f}$ die Norm von ${\mathfrak {P}}$ ist,

$N({\mathfrak {p}})=N({\mathfrak {P}})N(S{\mathfrak {P}})\cdots N(S^{l-1}{\mathfrak {P}})=p^{lf}$,

und mithin ist die Norm von ${\mathfrak {p}}$, im Körper $k(\zeta )$ genommen, $n({\mathfrak {p}})$, ebenfalls gleich $p^{f}$. Die Gleichheit der Normen $N({\mathfrak {P}})$ und $n({\mathfrak {p}})$ läßt, wie in § 57, die Tatsache erkennen, daß eine jede ganze Zahl des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ einer ganzen Zahl

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 255. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/272&oldid=- (Version vom 4.9.2016)