Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/271

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.28

Relativdiskriminante des durch ${\mathsf {M}}={\sqrt[{l}]{\mu }}$ und $\zeta$ bestimmten Kummerschen Körpers durch ${\mathfrak {w}}$ teilbar ist, so habe das Symbol $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}$ den Wert $0$.

Ist dagegen die Relativdiskriminante dieses Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ nicht durch ${\mathfrak {w}}$ teilbar, so kann man nach Satz 148 stets eine Zahl $\alpha$ in $k(\zeta )$ finden derart, daß $\mu ^{*}=\alpha ^{l}\mu$ eine ganze, nicht mehr durch ${\mathfrak {w}}$ teilbare Zahl in $k(\zeta )$ wird. Ist $\mu$ selbst zu ${\mathfrak {w}}$ prim, so erfüllt bereits $\alpha =1$ diese Bedingung. Wir definieren dann, wenn ${\mathfrak {w}}\neq {\mathfrak {l}}$ ist, das fragliche Symbol durch die Formel

$\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=\left\{{\frac {\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right\}$.

Wenn aber ${\mathfrak {w}}={\mathfrak {l}}$ ist, so kann, da die Relativdiskriminante von $k({\mathsf {M}},\zeta )$ prim zu ${\mathfrak {l}}$ sein soll, nach dem Satze 148 die Zahl $\alpha$ überdies so gewählt werden, daß $\mu ^{*}\equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ ausfällt. Ist dies geschehen, so gilt eine Kongruenz von der Gestalt

$\mu ^{*}\equiv 1+a\lambda ^{l}$, $({\mathfrak {l}}^{l+1})$,

wo $a$ eine bestimmte Zahl aus der Reihe $0$, $1$, $2$, …, $l-1$ bedeutet. Ich definiere dann das Symbol $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$ durch die Gleichung

$\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=\zeta ^{a}$.

Ist $\mu$ die $l$-te Potenz einer ganzen Zahl in $k(\zeta )$ und ${\mathfrak {w}}$ ein beliebiges Primideal in $k(\zeta )$, so werde stets $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=1$ genommen.

Auf diese Weise ist der Wert des Symbols $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}$ für jede ganze Zahl $\mu$ und für jedes Primideal ${\mathfrak {w}}$ in $k(\zeta )$ eindeutig festgelegt, und zwar wird dieser Wert entweder gleich $0$ oder gleich einer bestimmten $l$-ten Einheitswurzel.

Ist endlich ${\mathfrak {a}}$ ein beliebiges Ideal des Körpers $k(\zeta )$ und hat man ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {pq}}\ldots {\mathfrak {w}}$, wo ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {q}}$, …, ${\mathfrak {w}}$ Primideale in $k(\zeta )$ sind, so möge, wenn $\mu$ eine beliebige ganze Zahl in $k(\zeta )$ ist, das Symbol $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {a}}}\right\}$ durch die folgende Gleichung definiert werden:

$\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {a}}}\right\}=\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {p}}}\right\}\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {q}}}\right\}\cdots \left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}$.

Sind ${\mathfrak {a}}$, ${\mathfrak {b}}$ beliebige Ideale in $k(\zeta )$, so gilt dann offenbar die Gleichung:

$\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {ab}}}\right\}=\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {a}}}\right\}\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {b}}}\right\}$.

§ 128. Die Primideale des Kummerschen Körpers.

Es sei $\mu$ eine ganze Zahl in $k(\zeta )$, aber ${\mathsf {M}}={\sqrt[{l}]{\mu }}$ keine Zahl dieses Körpers. Die Aufgabe, die Primideale des Kreiskörpers $k(\zeta )$ in Primideale des Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ zu zerlegen, wird durch folgenden Satz gelöst:

Satz 149. Ein beliebiges Primideal ${\mathfrak {p}}$ in $k(\zeta )$ ist in dem durch ${\mathsf {M}}={\sqrt[{l}]{\mu }}$ und $\zeta$ bestimmten Kummerschen Körper $k({\mathsf {M}},\zeta )$ entweder gleich der $l$-ten

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 254. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/271&oldid=- (Version vom 4.9.2016)