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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.28

Die Zahl ${\frac {\alpha -{\mathsf {M}}}{\lambda }}$ ist sicher keine ganze Zahl, da ihre Relativnorm in bezug auf $k(\zeta )$, d. h. ${\frac {\alpha ^{l}-\mu }{\lambda ^{l}}}$ wegen $m<l$ eine gebrochene Zahl ist, also ist die Zahl $\alpha -{\mathsf {M}}$ nicht durch ${\mathfrak {l}}$ teilbar; mithin ist das Ideal ${\mathfrak {A}}$ von ${\mathfrak {l}}$ verschieden. Andererseits ist ${\mathfrak {A}}$ auch nicht $=1$, da die Relativnorm der Zahl $\alpha -{\mathsf {M}}$ wegen

$N_{k}(\alpha -{\mathsf {M}})=\alpha ^{l}-\mu \equiv -a\lambda ^{m}$, $({\mathfrak {l}}^{m+1})$

(71)

durch ${\mathfrak {l}}^{m}$ teilbar ist. Da sich $S{\mathfrak {A}}={\mathfrak {A}}$ erweist, so ist ${\mathfrak {A}}$ ein ambiges Ideal, und da dasselbe ein Faktor von ${\mathfrak {l}}$ sein muß, so gehört unter den gegenwärtigen Umständen ${\mathfrak {l}}$ zur ersten von den drei in § 57 beim Beweise des Satzes 93 unterschiedenen Arten von Primidealen des Unterkörpers, d. h. wir haben ${\mathfrak {l}}={\mathfrak {L}}^{l}$, wo ${\mathfrak {L}}$ ein Primideal und offenbar ersten Grades im Körper $k({\mathsf {M}},\zeta )$ bedeutet. Aus der Kongruenz (71) ergibt sich dann ${\mathfrak {A}}={\mathfrak {L}}^{m}$.

Nunmehr bestimmen wir zwei ganze rationale positive Zahlen $a$ und $b$, so daß $1=am-bl$ wird, und setzen

$\Omega ={\frac {(\alpha -{\mathsf {M}})^{a}}{\lambda ^{b}}}$.

Wegen $S{\mathsf {M}}=\zeta {\mathsf {M}}$ folgt

$S\Omega ={\frac {(\alpha -{\mathsf {M}}+\lambda {\mathsf {M}})^{a}}{\lambda ^{b}}}$,

und wir schließen aus diesem Ausdrucke, daß $\Omega -S\Omega$ genau durch die $(l-m+1)$-te Potenz von ${\mathfrak {L}}$ teilbar ist. Da von jeder Differenz aus irgend zwei zu $\Omega$ relativ konjugierten Zahlen das gleiche gilt, so enthält die Relativdiskriminante der Zahl $\Omega$ in bezug auf $k(\zeta )$ genau die $(l-1)(l-m+1)$-te Potenz des Ideals ${\mathfrak {l}}$. Hieraus folgt, da $\Omega$ nur durch die erste Potenz von ${\mathfrak {L}}$ teilbar ist, nach Hilfssatz 23, daß auch die Relativdiskriminante des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ in bezug auf $k(\zeta )$ genau durch die angegebene Potenz von ${\mathfrak {l}}$ teilbar sein muß.

Durch den eben bewiesenen Satz 148 ist die Relativdiskriminante des Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ in bezug auf den Körper $k(\zeta )$ völlig bestimmt, und nach Satz 39 kann man aus dieser Relativdiskriminante sogleich auch die Diskriminante des Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ finden.

§ 127. Das Symbol $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}$.

Für die weiteren Entwicklungen ist es nötig, das in § 113 eingeführte Symbol $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}$ in folgender Weise zu verallgemeinern, so daß es auch in den Fällen eine Bedeutung hat, wo ${\mathfrak {w}}$ in $\mu$ aufgeht, und wo ${\mathfrak {w}}={\mathfrak {l}}$ ist.

Es sei ${\mathfrak {w}}$ ein beliebiges Primideal in $k(\zeta )$ und $\mu$ eine beliebige ganze Zahl in $k(\zeta )$, welche nicht $l$-te Potenz einer ganzen Zahl in $k(\zeta )$ ist. Wenn dann die

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 253. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/270&oldid=- (Version vom 4.9.2016)