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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.28

sind, und daß außerdem ${\overline {\beta }}$ zu ${\mathfrak {p}}$ prim ausfällt. Wir denken uns nun die $l(l-1)$ Zahlen einer Basis des Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ gemäß (70) ausgedrückt und bilden aus diesen Zahlen und den zu ihnen relativ konjugierten Zahlen die $l$-reihige Matrix; es wird dann ersichtlich, daß die Relativdiskriminante des Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ nach Multiplikation mit gewissen zu ${\mathfrak {p}}$ primen ganzen Zahlen ${\overline {\beta }}$ des Körpers $k(\zeta )$ durch die Relativdiskriminante der Zahl ${\mathsf {A}}$ teilbar werden muß, und hiermit ist der Hilfssatz 23 bewiesen.

Satz 148. Es werde $\lambda =1-\zeta$ und ${\mathfrak {l}}=(\lambda )$ gesetzt. Geht ein von ${\mathfrak {l}}$ verschiedenes Primideal ${\mathfrak {p}}$ des Kreiskörpers $k(\zeta )$ in der Zahl $\mu$ genau zur $e$-ten Potenz auf, so enthält, wenn der Exponent $e$ zu $l$ prim ist, die Relativdiskriminante des durch ${\mathsf {M}}={\sqrt[{l}]{\mu }}$ und $\zeta$ bestimmten Kummerschen Körpers in bezug auf $k(\zeta )$ genau die Potenz ${\mathfrak {p}}^{l-1}$ von ${\mathfrak {p}}$ als Faktor. Ist dagegen der Exponent $e$ ein Vielfaches von $l$, so fällt diese Relativdiskriminante prim zu ${\mathfrak {p}}$ aus.

Was das Primideal ${\mathfrak {l}}$ betrifft, so können wir zunächst den Umstand ausschließen, daß die Zahl $\mu$ durch ${\mathfrak {l}}$ teilbar ist und dabei ${\mathfrak {l}}$ genau in einer solchen Potenz enthält, deren Exponent ein Vielfaches von $l$ ist; denn alsdann könnte die Zahl $\mu$ sofort durch eine zu ${\mathfrak {l}}$ prime Zahl $\mu ^{*}$ ersetzt werden, so daß $k\left({\sqrt[{l}]{\mu ^{*}}},\,\zeta \right)$ derselbe Körper wie $k\left({\sqrt[{l}]{\mu }},\,\zeta \right)$ ist. Unter Ausschluß des genannten Umstandes haben wir die zwei möglichen Fälle, daß $\mu$ genau eine Potenz von ${\mathfrak {l}}$ enthält, deren Exponent zu $l$ prim ist, oder daß $\mu$ nicht durch ${\mathfrak {l}}$ teilbar ist. Im ersteren Falle ist die Relativdiskriminante von $k\left({\sqrt[{l}]{\mu }},\,\zeta \right)$ in bezug auf $k(\zeta )$ genau durch die Potenz ${\mathfrak {l}}^{l^{2}-1}$ von ${\mathfrak {l}}$ teilbar. Im zweiten Falle sei $m$ der höchste Exponent $\leqq l$, für den es eine Zahl $\alpha$ in $k(\zeta )$ gibt, so daß $\mu =\alpha ^{l}$ nach ${\mathfrak {l}}^{m}$ ausfällt. Jene Relativdiskriminante ist dann im Falle $m=l$ zu ${\mathfrak {l}}$ prim; sie ist dagegen im Falle $m<l$ genau durch die Potenz ${\mathfrak {l}}^{(l-1)(l-m+1)}$ von ${\mathfrak {l}}$ teilbar.

Beweis. Gehen wir zunächst auf den ersten Teil des Satzes 148 ein. Es sei $\pi$ eine durch ${\mathfrak {p}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {p}}^{2}$ teilbare ganze Zahl in $k(\zeta )$, und weiter sei $v$ eine durch $\textstyle {\frac {\pi }{\mathfrak {p}}}$ teilbare, aber zu ${\mathfrak {p}}$ prime ganze Zahl in $k(\zeta )$.

Ist der Exponent $e$ der in $\mu$ enthaltenen Potenz von ${\mathfrak {p}}$ kein Vielfaches von $l$, so können wir zwei ganze rationale positive Zahlen $a$ und $b$ bestimmen, so daß $1=ae-bl$ ist. Dann ist $\textstyle \mu ^{*}={\frac {\mu ^{a}v^{bl}}{\pi ^{bl}}}$ durch ${\mathfrak {p}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {p}}^{2}$ teilbare ganze Zahl in $k(\zeta )$, und es erweist sich, wenn ${\mathsf {M}}^{*}={\sqrt[{l}]{\mu ^{*}}}$ gesetzt wird, $k({\mathsf {M}}^{*},\,\zeta )=k({\mathsf {M}},\,\zeta )$, und wenn wir den gemeinsamen Idealteiler von ${\mathfrak {p}}$ und ${\mathsf {M}}^{*}$ im Körper $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ mit ${\mathfrak {P}}$ bezeichnen,

${\mathfrak {P}}=S{\mathfrak {P}}$, ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}^{l}$.

Das Ideal ${\mathfrak {P}}$ ist also ein ambiges Primideal des Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ in bezug auf den Unterkörper $k(\zeta )$; nach Satz 93 tritt dasselbe daher in der Relativdiskriminante von $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ in bezug auf $k(\zeta )$ als Faktor auf.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 251. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/268&oldid=- (Version vom 22.8.2016)