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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.28

Fünfter Teil.

Der Kummersche Zahlkörper.

28. Die Zerlegung der Zahlen des Kreiskörpers im Kummerschen Körper.

§ 125. Die Definition des Kummerschen Körpers.

Es bezeichne $l$ eine ungerade rationale Primzahl und $k(\zeta )$ den durch $\zeta =\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}$ bestimmten Kreiskörper. Ist dann $\mu$ eine solche ganze Zahl in $k(\zeta )$, welche nicht zugleich die $l$-te Potenz einer Zahl in $k(\zeta )$ wird, so erweist sich die Gleichung $l$-ten Grades

$x^{l}-\mu =0$

als irreduzibel im Rationalitätsbereich $k(\zeta )$. Bedeutet ${\mathsf {M}}={\sqrt[{l}]{\mu }}$ eine irgendwie in bestimmter Weise ausgewählte Wurzel dieser Gleichung, so sind

$\zeta {\mathsf {M}},\ \zeta ^{2}{\mathsf {M}},\ \ldots ,\ \zeta ^{l-1}{\mathsf {M}}$

deren $l-1$ übrige Wurzeln. Den durch ${\mathsf {M}}$ und $\zeta$ bestimmten Körper $k({\mathsf {M}},\ \zeta )$ nenne ich einen Kummerschen Körper. Ein solcher Kummerscher Körper $k({\mathsf {M}},\ \zeta )$ ist vom Grade $l(l-1)$; er enthält den Kreiskörper $k(\zeta )$ als Unterkörper und ist in bezug auf $k(\zeta )$ ein relativ Abelscher Körper vom Relativgrade $l$. Durch die Operation der Vertauschung von ${\mathsf {M}}$ mit $\zeta {\mathsf {M}}$ in einer Zahl oder in einem Ideal dieses Kummerschen Körpers geht man zu der relativ konjugierten Zahl bezüglich dem relativ konjugierten Ideal über. Dieser Übergang werde durch Vorsetzen des Substitutionszeichens $S$ angedeutet.

Man beweist leicht die Tatsachen:

Satz 147. Der durch $M={\sqrt[{l}]{\mu }}$ und $\zeta$ bestimmte Kummersche Körper ist im Bereiche der rationalen Zahlen dann und nur dann ein Galoisscher Körper, wenn unter den symbolischen Potenzen $\mu ^{s-1},\ \mu ^{s-2},\ \ldots ,\ \mu ^{s-l+1}$ eine die $l$-te Potenz einer Zahl in $k(\zeta )$ wird. Dabei ist $s=\left(\zeta :\zeta ^{r}\right)$, worin $r$ eine Primitivzahl nach $l$ bedeutet.

Der Kummersche Körper $k({\mathsf {M}},\ \zeta )$ ist insbesondere dann und nur dann ein Abelscher Körper, wenn $\mu ^{s-r}$ die $l$-te Potenz einer Zahl in $k(\zeta )$ wird.

Wenn der Kummersche Körper $k({\mathsf {M}},\ \zeta )$ ein Galoisscher oder insbesondere ein Abelscher Körper ist, so entsteht dieser Körper, wie man auf Grund der in § 38 entwickelten Begriffe ersieht, durch Zusammensetzung aus dem Kreiskörper $k(\zeta )$ und einem gewissen Körper $l$-ten Grades.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 249. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/266&oldid=- (Version vom 31.7.2018)