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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.25

damit ist der Satz 140 unter den zunächst gemachten Einschränkungen, daß $\alpha$ nur Primideale ersten Grades enthält und $a$ eine Primzahl ist, bewiesen.

Um die erstere Einschränkung zu beseitigen, nehmen wir jetzt an, es sei $\alpha$ eine beliebige semiprimäre, zu $q$ prime ganze Zahl in $k(\zeta )$, welche auch Primideale von höherem als erstem Grade enthalten kann. Wir bilden dann die Zahl

$\beta =\alpha ^{\prod \limits _{(e)}(1-s^{e})}$,

wo das im Exponenten stehende Produkt über sämtliche von $l-1$ verschiedene Teiler $e$ der Zahl $l-1$ zu erstrecken ist, und setzen

$\beta ={\mathfrak {\frac {j}{k}}}$

in solcher Weise, daß ${\mathfrak {j}}$ und ${\mathfrak {k}}$ zueinander prime Ideale bedeuten; dieselben enthalten dann, wie leicht ersichtlich, nur Primideale ersten Grades als Faktoren, und sie sind überdies nicht durch ${\mathfrak {l}}$ teilbar. Ist $h$ die Anzahl der Idealklassen des Körpers $k(\zeta )$, so wird nach Satz 51 ${\mathfrak {k}}^{h}=(\varkappa )$, wo $\varkappa$ eine ganze Zahl in $k(\zeta )$ bedeutet; setzen wir $\gamma =\beta \varkappa ^{l}$, so wird auch $\gamma$ eine ganze Zahl in $k(\zeta )$, welche nur Primideale ersten Grades als Primfaktoren enthält, und überdies ist offenbar $\gamma$ ebenso wie $\alpha$ semiprimär und zu $q$ prim. Nach dem oben Bewiesenen ist daher

$\left\{{\frac {\gamma }{q}}\right\}=\left\{{\frac {q}{\gamma }}\right\}$.

(51)

Der einfacheren Darstellung halber wollen wir nun allgemein, wenn $\varrho$, $\sigma$ zwei ganze zu $q$ prime Zahlen in $k(\zeta )$ bedeuten,

${\frac {\left\{{\frac {\varrho }{q}}\right\}}{\left\{{\frac {\sigma }{q}}\right\}}}=\left\{{\frac {\frac {\varrho }{\sigma }}{q}}\right\}$ und ${\frac {\left\{{\frac {q}{\varrho }}\right\}}{\left\{{\frac {q}{\sigma }}\right\}}}=\left\{{\frac {q}{\frac {\varrho }{\sigma }}}\right\}$

schreiben, was zu keinem Widerspruche mit den bisherigen Festsetzungen führt; dann folgt wegen $\textstyle \beta ={\frac {\gamma }{\varkappa ^{l}}}$ aus (51) offenbar die Gleichung

$\left\{{\frac {\beta }{q}}\right\}=\left\{{\frac {q}{\beta }}\right\}$.

(52)

Berücksichtigen wir die Gleichungen

$\left\{{\frac {s^{u}\alpha }{q}}\right\}=\left\{{\frac {\alpha }{q}}\right\}^{r^{u}}$ und $\left\{{\frac {q}{s^{u}\alpha }}\right\}=\left\{{\frac {q}{\alpha }}\right\}^{r^{u}}$,

so erkennen wir aus (52), daß

$\left\{{\frac {\alpha }{q}}\right\}^{\prod \limits _{(e)}(1-r^{e})}=\left\{{\frac {q}{\alpha }}\right\}^{\prod \limits _{(e)}(1-r^{e})}$

wird. Wenn wir bedenken, daß das auf beiden Seiten als Exponent stehende

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 233. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/250&oldid=- (Version vom 1.7.2016)