25. Das Reziprozitätsgesetz für
-te Potenzreste zwischen einer rationalen Zahl und einer Zahl des Körpers der
-ten Einheitswurzeln.
§ 113.
Der Potenzcharakter einer Zahl und das Symbol
.
Es sei
eine ungerade Primzahl,
‚ und
bezeichne den durch
bestimmten Kreiskörper. Ist dann
eine rationale, von
verschiedene Primzahl und
ein in
aufgehendes Primideal in
, und ist
der Grad von
‚ so gilt nach Satz 24 für jede nicht durch
teilbare ganze Zahl
des Körpers
die Kongruenz
|
.
|
Da
nach Satz 119 durch
teilbar ist, so gestattet die linke Seite dieser Kongruenz die Zerlegung
|
,
|
wo das Produkt über die Werte
zu erstrecken ist. Hieraus folgt, daß für einen und jedenfalls auch nur einen Wert
die Kongruenz
|
|
erfüllt ist. Man nennt die hier auftretende Einheitswurzel
den Potenzcharakter der Zahl
in Bezug auf das Primideal
im Körper
und bezeichnet diese Einheitswurzel
durch das Symbol
|
,
|
so daß die Kongruenz
|
(45)
|
gilt [Kummer (10[1])].
Sind
und
zwei durch
nicht teilbare ganze Zahlen in
, so besteht, wie hieraus leicht ersichtlich, die Gleichung
|
.
|
Wenn insbesondere die ganze Zahl
nach dem Primideal
der
-ten Potenz einer ganzen Zahl in
kongruent ist, so heißt
ein
-ter Potenzrest nach dem Primideal
. Es gilt die Tatsache:
Satz 139. Bedeutet
ein von
verschiedenes Primideal und
eine ganze zu
prime Zahl in
, so ist
dann und nur dann
-ter Potenzrest nach
, wenn
ausfällt. Beweis. Ist
nach
, wo
wieder eine Zahl in
bedeutet, so folgt
nach
, d. h.
. Um die Umkehrung hiervon zu zeigen, bezeichnen wir mit
eine Primitivzahl nach
und setzen
nach
. Nehmen wir
an, so folgt
nach
, d. h.
ist durch
teilbar, und folglich ist
ein
-ter Potenzrest nach
, was zu beweisen war.
Für eine Primitivzahl
nach
ist der Potenzcharakter
sicherlich von
verschieden. Denn in der Reihe der Potenzen
,
, … ist
die erste, welche
nach
ausfällt, und also ist
nach
.
Es sei
; man bestimme eine zu
prime ganze rationale Zahl
derart, daß
nach
wird; dann ist offenbar
eine solche Primitivzahl nach
, für welche
ausfällt. Ist nun
eine ganze, nicht durch
teilbare Zahl in
, und hat man
nach
, so besitzt
den Potenzcharakter
.
Hieraus ist leicht ersichtlich, daß das vollständige System der
einander nach
inkongruenten Zahlen
,
,
, …,
in
Teilsysteme zerfällt, von denen jedes
Zahlen vom nämlichen Potenzcharakter enthält. Insbesondere gibt es genau
einander inkongruente
-te Potenzreste nach
.
Ist
ein beliebiges zu
primes Ideal und
eine zu
prime ganze Zahl in
, und wird
gesetzt, wo
,
, …
Primideale bedeuten, so werde das Symbol
durch die Gleichung
|
|
definiert.
§ 114.
Ein Hilfssatz über den Potenzcharakter der
-ten Potenz der Lagrangeschen Wurzelzahl.
Es ist Eisenstein gelungen, dasjenige Reziprozitätsgesetz zu entdecken und zu beweisen, welches im Körper
zwischen einer rationalen Zahl und einer beliebigen Zahl dieses Körpers besteht; dabei ist wieder
gesetzt, und
bedeutet eine ungerade Primzahl. Dieses Reziprozitätsgesetz ist zugleich ein bisher unentbehrliches Hilfsmittel zum Beweise des allgemeineren Kummerschen Reziprozitätsgesetzes (vgl. Kap. 31). Dem Beweise des Eisensteinschen Reziprozitätsgesetzes ist der folgende Hilfssatz vorauszuschicken: Hilfssatz 21. Es sei
; ferner bedeute
eine von
verschiedene rationale Primzahl von der Form
,
eine Primitivzahl nach
und
das Primideal ersten Grades in
:
|
;
|
es werde
, die Lagrangesche Wurzelzahl
|
|
und
gesetzt. Endlich bedeute
eine beliebige, von
und
verschiedene rationale Primzahl,
ein in
aufgehendes Primideal des Körpers
und
den Grad von
: dann drückt sich der Potenzcharakter der Zahl
in bezug auf das Ideal
durch die Formel aus
|
.
|
Beweis. Durch
-maliges Erheben in die
-te Potenz folgt die Kongruenz
, ( ).
|
(46)
|
Berücksichtigen wir, daß dem Satze 119 zufolge
nach
ist, und setzen
nach
, so wird die rechte Seite der Kongruenz (46)
.
|
|
Hieraus folgt, da
wegen des Satzes 138 prim zu
ist, die Kongruenz
, ( ),
|
|
und also ist auch gewiß
, ( ),
|
|
d. h. es wird
.
|
(47)
|
Andererseits entnimmt man aus den Kongruenzen
nach
und
nach
die Beziehungen:
, ( ),
|
|
d. h. es ist
;
|
(48)
|
die Gleichungen (47) und (48) zusammen ergeben den Hilfssatz 21.
§ 115.
Beweis des Reziprozitätsgesetzes im Körper
zwischen einer rationalen und einer beliebigen Zahl.
Es bedeute
das in
aufgehende Primideal des Körpers
. Eine ganze Zahl
des Körpers
heiße semiprimär, wenn sie zu
prim und nach
einer ganzen rationalen Zahl kongruent ist. Eine ganze rationale, nicht durch
teilbare Zahl ist hiernach stets semiprimär. Eine beliebige ganze, nicht durch
teilbare Zahl
des Körpers
kann durch Multiplikation mit einer geeigneten Potenz der Einheitswurzel
stets in eine semiprimäre Zahl verwandelt werden. Ist nämlich
|
, ,
|
wo
und
ganze rationale Zahlen bedeuten, so ist
|
, ,
|
wenn
aus der Kongruenz
nach
bestimmt wird. Die Zahl
ist mithin semiprimär.
Nach dieser Vorbemerkung läßt sich nunmehr das Eisensteinsche Reziprozitätsgesetz, wie folgt, aussprechen:
Satz 140. Wenn
eine beliebige ganze rationale, nicht durch die ungerade Primzahl
teilbare Zahl und
eine beliebige semiprimäre und zu
prime ganze Zahl des Körpers
der
-ten Einheitswurzeln ist, so gilt in diesem Körper die Reziprozitätsgleichung
|
.
|
[Eisenstein (2)[2]].
Beweis. Wir verstehen unter
eine Primitivzahl nach
und schreiben
. Es werde zunächst angenommen, daß
eine rationale Primzahl ist, und daß die Zahl
nur Primideale ersten Grades enthält. Es sei
ein in
aufgehendes Primideal in
und
der Grad von
, ferner sei
eine in der Norm
vorkommende rationale Primzahl, und es mögen
und
dazu die gleiche Bedeutung wie in Hilfssatz 21 haben. Ist nun
eine beliebige Potenz der Substitution
, und wenden wir den Hilfssatz 21 auf die Primideale
und
an, so ergibt sich:
|
.
|
Unterwerfen wir diese Gleichung der Substitution
, so folgt:
.
|
(49)
|
Die in der Norm
vorkommenden, voneinander verschiedenen rationalen Primzahlen seien
,
, …; ferner mögen
,
, … bez. Primitivzahlen nach
,
, … bedeuten; endlich werde
|
, , …
|
gesetzt, und es gestatte die Zahl
die Zerlegung
|
,
|
wo die Exponenten
,
, … ganzzahlige Funktionen in
vom Grade
mit lauter Koeffizienten, die
sind, bedeuten.
Bezeichnen dann
,
, … die bezüglichen, zu den Primzahlen
,
, … und deren Primitivzahlen
,
, … gehörigen Lagrangeschen Wurzelzahlen, und wird
,
, … gesetzt, so gelten nach Satz 138 die Zerlegungen:
|
|
wo
die kleinste positive ganze rationale Zahl bedeutet, welche der
-ten Potenz
der Primitivzahl
nach
kongruent ist. Der Quotient
|
|
ist daher offenbar eine Einheit des Körpers
. Wir wollen beweisen, daß diese Einheit
ist. Zu dem Zwecke bilden wir den Ausdruck
|
|
Wegen der für
,
,
, …,
gültigen Gleichung
|
|
wird der Zähler des Bruches rechter Hand
|
.
|
Berücksichtigen wir, daß nach Satz 138
,
, … wird, so ergibt sich
. Nach Satz 48 ist folglich
bis auf einen Faktor
eine Potenz der Einheitswurzel
. Da andererseits nach Satz 138 die Kongruenzen
|
, , …,
|
bestehen, und daher
,
, … sämtlich semiprimäre Zahlen sind, so ist auch
eine semiprimäre Zahl; mithin wird
, und es folgt demnach:
|
.
|
Diese Gleichung liefert unter Anwendung der Formel (49) die Reziprozitätsgleichung
|
(50)
|
Berücksichtigen wir, daß
|
, , …,
|
ist, da ja die Symbole Potenzen von
darstellen, so folgt aus (50) die Gleichung
|
oder ;
|
damit ist der Satz 140 unter den zunächst gemachten Einschränkungen, daß
![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
nur Primideale ersten Grades enthält und
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
eine Primzahl ist, bewiesen.
Um die erstere Einschränkung zu beseitigen, nehmen wir jetzt an, es sei
eine beliebige semiprimäre, zu
prime ganze Zahl in
, welche auch Primideale von höherem als erstem Grade enthalten kann. Wir bilden dann die Zahl
|
,
|
wo das im Exponenten stehende Produkt über sämtliche von
verschiedene Teiler
der Zahl
zu erstrecken ist, und setzen
|
|
in solcher Weise, daß
und
zueinander prime Ideale bedeuten; dieselben enthalten dann, wie leicht ersichtlich, nur Primideale ersten Grades als Faktoren, und sie sind überdies nicht durch
teilbar. Ist
die Anzahl der Idealklassen des Körpers
, so wird nach Satz 51
, wo
eine ganze Zahl in
bedeutet; setzen wir
, so wird auch
eine ganze Zahl in
, welche nur Primideale ersten Grades als Primfaktoren enthält, und überdies ist offenbar
ebenso wie
semiprimär und zu
prim. Nach dem oben Bewiesenen ist daher
.
|
(51)
|
Der einfacheren Darstellung halber wollen wir nun allgemein, wenn
,
zwei ganze zu
prime Zahlen in
bedeuten,
und
|
|
schreiben, was zu keinem Widerspruche mit den bisherigen Festsetzungen führt; dann folgt wegen
aus (51) offenbar die Gleichung
.
|
(52)
|
Berücksichtigen wir die Gleichungen
und ,
|
|
so erkennen wir aus (52), daß
|
|
wird. Wenn wir bedenken, daß das auf beiden Seiten als Exponent stehende Produkt nicht durch
teilbar ist, so ergibt sich hieraus
|
.
|
Wird endlich auch die ganze rationale durch
nicht teilbare Zahl
beliebig angenommen, nur so, daß
zu
prim ist, und wird
gesetzt, wo
,
rationale Primzahlen bedeuten, so folgt durch Multiplikation der Gleichungen
|
|
die Richtigkeit des Satzes 140 im allgemeinsten Falle.