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der Voraussetzung. Nach Satz 1 bricht die Reihe dieser Ideale , , , , … ab. Das letzte Ideal ist ein Primideal.

Der eben bewiesene Satz kann auch wie folgt ausgesprochen werden.

Wenn ein Ideal nach keinem Primideal ist, so ist es das Ideal .

3. Wenn das Produkt zweier Ideale und ist nach einem Primideal , so ist entweder oder nach dem Primideal .

Ist etwa nicht nach , so bestimme man eine Zahl des Ideals , welche nicht nach ist. Ferner bilde man aus durch Hinzufügung der Zahl das Ideal . Dieses Ideal ist offenbar weder nach noch nach irgendeinem anderen Primideal und folglich nach Satz 2 gleich dem Ideal , d. h.

,

wo , , …, geeignet gewählte ganze algebraische Zahlen des Körpers sind. Die erhaltene Gleichung lautet als Kongruenz geschrieben: nach dem Primideal . Bezeichnet nun irgendeine Zahl des Ideals , so ist nach Voraussetzung nach . Und hieraus folgt nach Multiplikation mit die Kongruenz nach dem Primideal .

4. Wenn ein Ideal nach einem Hauptideal ist, so ist durch teilbar. Aus folgt notwendig .

In der Tat, da alle Zahlen des Ideals durch die Zahl teilbar sind, so kann man setzen und hat dann . Ist ferner nach , so folgt nach Division durch die Zahl , daß nach ist. Da wegen nach in gleicher Weise auch nach ist, so folgt notwendig .

5. In einem jeden Primideal gibt es stets eine rationale Primzahl von der Art, daß eine jede andere ganze rationale Zahl des Ideals diese Primzahl als Faktor enthält.

Zum Beweise nehme man die Norm einer Zahl von und zerlege in seine rationalen Primfaktoren. Faßt man diese als Hauptideale auf, so ist nach Satz 3 einer derselben etwa nach dem Primideal . Gäbe es nun in noch eine ganze rationale Zahl , welche nicht durch teilbar wäre, so bestimme man zwei ganze rationale Zahlen und derart, daß ist; hieraus würde nach folgen, was nicht möglich ist.

Nunmehr nehmen wir zunächst an, daß der vorgelegte Zahlkörper ein Galoisscher[1] Körper sei; dann wird aus jedem Ideal des Körpers jedenfalls wieder ein Ideal des nämlichen Körpers entstehen, wenn wir in jenem Ideal


  1. Auch Kronecker beweist den Satz von der Zerlegung in Primideale zuerst für einen Galoisschen Körper; doch ist es bemerkenswert, daß für die Kroneckersche Schlußweise dieser Gedanke keineswegs wesentlich ist. Vielmehr läßt sich das Kroneckersche Beweisverfahren durch eine geringfügige Abänderung in der Reihenfolge der Schlüsse unmittelbar auf beliebige Körper anwenden. Der so abgeänderte Kroneckersche Beweis kommt somit lediglich mit dem Hilfsmittel der unbestimmten Koeffizienten aus.