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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.25

Bezeichnen dann $\Lambda$, $\Lambda ^{*}$, … die bezüglichen, zu den Primzahlen $p$, $p^{*}$, … und deren Primitivzahlen $R$, $R^{*}$, … gehörigen Lagrangeschen Wurzelzahlen, und wird $\pi =\Lambda ^{l}$, $\pi ^{*}=\Lambda ^{*l}$, … gesetzt, so gelten nach Satz 138 die Zerlegungen:

${\begin{aligned}\pi &={\mathfrak {p}}^{r_{0}+r_{-1}s+r_{-2}s^{2}+\cdots +r_{-l+2}s^{l-2}},\\\pi ^{*}&={\mathfrak {p}}^{*r_{0}+r_{-1}s+r_{-2}s^{2}+\cdots +r_{-l+2}s^{l-2}},\\&\qquad \qquad \qquad \vdots \end{aligned}}$

wo $r_{-h}$ die kleinste positive ganze rationale Zahl bedeutet, welche der $-h$-ten Potenz $r^{-h}$ der Primitivzahl $r$ nach $l$ kongruent ist. Der Quotient

$\varepsilon ={\frac {\alpha ^{r_{0}+r_{-1}s+\cdots +r_{-l+2}s^{l-2}}}{\pi ^{F(s)}\pi ^{*F^{*}(s)}\ldots }}$

ist daher offenbar eine Einheit des Körpers $k(\zeta )$. Wir wollen beweisen, daß diese Einheit $\epsilon =\pm 1$ ist. Zu dem Zwecke bilden wir den Ausdruck

$\left|\varepsilon \right|^{2}=\varepsilon ^{1+s^{\frac {l-1}{2}}}={\frac {\alpha ^{\left(1+s^{\frac {l-1}{2}}\right)\left(r_{0}+r_{-1}s+\cdots +r_{-l+2}s^{l-2}\right)}}{\left(\left|\pi \right|^{2}\right)^{F(s)}\left(\left|\pi ^{*}\right|^{2}\right)^{F^{*}(s)}\ldots }}$

Wegen der für $h=0$, $1$, $2$, …, ${\frac {l-3}{2}}$ gültigen Gleichung

$r_{-h}+r_{-h-{\frac {l-1}{2}}}=l$

wird der Zähler des Bruches rechter Hand

$\alpha ^{\left(1+s^{\frac {l-1}{2}}\right)\left(r_{0}+r_{-1}s+\cdots +r_{-l+2}s^{l-2}\right)}=\alpha ^{l(1+s+\cdots +s^{l-2})}=(n(\alpha ))^{l}$.

Berücksichtigen wir, daß nach Satz 138 $|\pi |^{2}=p^{l}$, $|\pi ^{*}|^{2}=p^{*l}$, … wird, so ergibt sich $|\varepsilon |=1$. Nach Satz 48 ist folglich $\varepsilon$ bis auf einen Faktor $\pm 1$ eine Potenz der Einheitswurzel $\zeta$. Da andererseits nach Satz 138 die Kongruenzen

$\pi \equiv -1$, $\pi ^{*}\equiv -1$, …, $({\mathfrak {l}}^{l})$

bestehen, und daher $\pi$, $\pi ^{*}$, … sämtlich semiprimäre Zahlen sind, so ist auch $\varepsilon$ eine semiprimäre Zahl; mithin wird $\varepsilon =\pm 1$, und es folgt demnach:

$\alpha ^{r_{0}+r_{-1}s+\cdots +r_{-l+2}s^{l-1}}=\pm \pi ^{F(s)}\pi ^{*F^{*}(s)}\ldots$.

Diese Gleichung liefert unter Anwendung der Formel (49) die Reziprozitätsgleichung

$\left\{{\frac {\alpha ^{r_{0}+r_{-1}s+\cdots +r_{-l+2}s^{l-2}}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {q}{{\mathfrak {p}}^{F(s)}{\mathfrak {p}}^{*F^{*}(s)}\ldots }}\right\}^{g}=\left\{{\frac {q}{\alpha }}\right\}^{g}$

(50)

Berücksichtigen wir, daß

$\left\{{\frac {s\alpha }{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\alpha }{s^{-1}{\mathfrak {q}}}}\right\}^{r}$, $\left\{{\frac {s^{2}\alpha }{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\alpha }{s^{-2}{\mathfrak {q}}}}\right\}^{r^{2}}$, …, $\left\{{\frac {s^{l-2}\alpha }{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\alpha }{s^{-l+2}{\mathfrak {q}}}}\right\}^{r^{l-2}}$

ist, da ja die Symbole Potenzen von $\zeta$ darstellen, so folgt aus (50) die Gleichung

$\left\{{\frac {\alpha }{q^{g}}}\right\}=\left\{{\frac {q}{\alpha }}\right\}^{g}$ oder $\left\{{\frac {\alpha }{q}}\right\}=\left\{{\frac {q}{\alpha }}\right\}$;

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 232. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/249&oldid=- (Version vom 2.7.2019)