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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.25

Hilfssatz 21. Es sei $\zeta =\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}$; ferner bedeute $p$ eine von $l$ verschiedene rationale Primzahl von der Form $p=ml+1$, $R$ eine Primitivzahl nach $p$ und ${\mathfrak {p}}$ das Primideal ersten Grades in $k(\zeta )$:

${\mathfrak {p}}=(p,\,\zeta -R^{-m})$;

es werde ${\mathsf {Z}}=\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{p}}$, die Lagrangesche Wurzelzahl

$\Lambda ={\mathsf {Z}}+\zeta {\mathsf {Z}}^{R}+\zeta ^{2}{\mathsf {Z}}^{R^{2}}+\cdots +\zeta ^{p-2}{\mathsf {Z}}^{R^{p-2}}$

und $\pi =\Lambda ^{l}$ gesetzt. Endlich bedeute $q$ eine beliebige, von $l$ und $p$ verschiedene rationale Primzahl, ${\mathfrak {q}}$ ein in $q$ aufgehendes Primideal des Körpers $k(\zeta )$ und $g$ den Grad von ${\mathfrak {q}}$: dann drückt sich der Potenzcharakter der Zahl $\pi =\Lambda ^{l}$ in bezug auf das Ideal ${\mathfrak {q}}$ durch die Formel aus

$\left\{{\frac {\pi }{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {q}{\mathfrak {p}}}\right\}^{g}$.

Beweis. Durch $g$-maliges Erheben in die $q$-te Potenz folgt die Kongruenz

$\Lambda ^{q^{g}}\equiv {\mathsf {Z}}^{q^{g}}+\zeta ^{q^{g}}{\mathsf {Z}}^{Rq^{g}}+\zeta ^{2q^{g}}{\mathsf {Z}}^{R^{2}q^{g}}+\cdots +\zeta ^{(p-2)q^{g}}{\mathsf {Z}}^{R^{p-2}q^{g}}$, ($q$).

(46)

Berücksichtigen wir, daß dem Satze 119 zufolge $q^{g}\equiv 1$ nach $l$ ist, und setzen $q^{g}\equiv R^{h}$ nach $p$, so wird die rechte Seite der Kongruenz (46)

${\mathsf {Z}}^{R^{h}}+\zeta {\mathsf {Z}}^{R^{h+1}}+\zeta ^{2}{\mathsf {Z}}^{R^{h+2}}+\cdots +\zeta ^{p-2}{\mathsf {Z}}^{R^{h+p-2}}=\zeta ^{-h}\Lambda$.

Hieraus folgt, da $\Lambda$ wegen des Satzes 138 prim zu $q$ ist, die Kongruenz

$\Lambda ^{q^{g-1}}\equiv \zeta ^{-h}$, ($q$),

und also ist auch gewiß

$\Lambda ^{q^{g-1}}=\pi ^{\frac {q^{g-1}}{l}}\equiv \zeta ^{-h}$, (${\mathfrak {q}}$),

d. h. es wird

$\left\{{\frac {\pi }{\mathfrak {q}}}\right\}=\zeta ^{-h}$.

(47)

Andererseits entnimmt man aus den Kongruenzen $q^{g}=R^{h}$ nach $p$ und $R^{m}=\zeta ^{-1}$ nach ${\mathfrak {p}}$ die Beziehungen:

$q^{\frac {g(p-1)}{l}}=q^{gm}\equiv R^{hm}\equiv \zeta ^{-h}$, (${\mathfrak {p}}$),

d. h. es ist

$\left\{{\frac {q^{g}}{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {q}{\mathfrak {p}}}\right\}^{g}=\zeta ^{-h}$;

(48)

die Gleichungen (47) und (48) zusammen ergeben den Hilfssatz 21.

§ 115. Beweis des Reziprozitätsgesetzes im Körper $k(\zeta )$ zwischen einer rationalen und einer beliebigen Zahl.

Es bedeute ${\mathfrak {l}}=(1-\zeta )$ das in $l$ aufgehende Primideal des Körpers $k(\zeta )$. Eine ganze Zahl $\alpha$ des Körpers $k(\zeta )$ heiße semiprimär, wenn sie zu ${\mathfrak {l}}$ prim und nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ einer ganzen rationalen Zahl kongruent ist. Eine ganze rationale,

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 230. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/247&oldid=- (Version vom 31.7.2018)