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Hilfssatz 21. Es sei ; ferner bedeute eine von verschiedene rationale Primzahl von der Form , eine Primitivzahl nach und das Primideal ersten Grades in :

;

es werde , die Lagrangesche Wurzelzahl

und gesetzt. Endlich bedeute eine beliebige, von und verschiedene rationale Primzahl, ein in aufgehendes Primideal des Körpers und den Grad von : dann drückt sich der Potenzcharakter der Zahl in bezug auf das Ideal durch die Formel aus

.

Beweis. Durch -maliges Erheben in die -te Potenz folgt die Kongruenz

, (). (46)

Berücksichtigen wir, daß dem Satze 119 zufolge nach ist, und setzen nach , so wird die rechte Seite der Kongruenz (46)

.

Hieraus folgt, da wegen des Satzes 138 prim zu ist, die Kongruenz

, (),

und also ist auch gewiß

, (),

d. h. es wird

. (47)

Andererseits entnimmt man aus den Kongruenzen nach und nach die Beziehungen:

, (),

d. h. es ist

; (48)

die Gleichungen (47) und (48) zusammen ergeben den Hilfssatz 21.

§ 115. Beweis des Reziprozitätsgesetzes im Körper zwischen einer rationalen und einer beliebigen Zahl.

Es bedeute das in aufgehende Primideal des Körpers . Eine ganze Zahl des Körpers heiße semiprimär, wenn sie zu prim und nach einer ganzen rationalen Zahl kongruent ist. Eine ganze rationale,

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 230. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/247&oldid=- (Version vom 31.7.2018)