25. Das Reziprozitätsgesetz für
-te Potenzreste zwischen einer rationalen Zahl und einer Zahl des Körpers der
-ten Einheitswurzeln.
§ 113.
Der Potenzcharakter einer Zahl und das Symbol
.
Es sei
eine ungerade Primzahl,
‚ und
bezeichne den durch
bestimmten Kreiskörper. Ist dann
eine rationale, von
verschiedene Primzahl und
ein in
aufgehendes Primideal in
, und ist
der Grad von
‚ so gilt nach Satz 24 für jede nicht durch
teilbare ganze Zahl
des Körpers
die Kongruenz
|
.
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Da
nach Satz 119 durch
teilbar ist, so gestattet die linke Seite dieser Kongruenz die Zerlegung
|
,
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wo das Produkt über die Werte
zu erstrecken ist. Hieraus folgt, daß für einen und jedenfalls auch nur einen Wert
die Kongruenz
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erfüllt ist. Man nennt die hier auftretende Einheitswurzel
den Potenzcharakter der Zahl
in Bezug auf das Primideal
im Körper
und bezeichnet diese Einheitswurzel
durch das Symbol
|
,
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so daß die Kongruenz
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(45)
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gilt [Kummer (10[1])].
Sind
und
zwei durch
nicht teilbare ganze Zahlen in
, so besteht, wie hieraus leicht ersichtlich, die Gleichung
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.
|
Wenn insbesondere die ganze Zahl
nach dem Primideal
der
-ten Potenz einer ganzen Zahl in
kongruent ist, so heißt
ein
-ter Potenzrest nach dem Primideal
. Es gilt die Tatsache:
Satz 139. Bedeutet
ein von
verschiedenes Primideal und
eine ganze zu
prime Zahl in
, so ist
dann und nur dann
-ter Potenzrest nach
, wenn
ausfällt.
- ↑ [359] Über allgemeine Reziprozitätsgesetze für beliebig hohe Potenzreste. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1850.[WS 1]
Anmerkungen (Wikisource)