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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.24

Der zweite Teil ist wesentlich die Umkehrung des ersten; die Richtigkeit des zweiten Teiles folgt ohne Mühe aus den Sätzen 135 und 137, wenn man überdies den Satz 48 heranzieht; man hat dabei zu beachten, daß, wenn eine Zahl eines Abelschen Zahlkörpers den absoluten Betrag $1$ hat, diese Eigenschaft stets auch den zu ihr konjugierten Zahlen zukommt.

In entsprechender Weise wie die Kongruenz (43) können wir die sämtlichen folgenden Kongruenzen ableiten [Jacobi (3^[1])]:

$s^{-i}\Lambda \equiv -{\frac {\Pi ^{r_{-i}m}}{(r_{-i}m)!}},\qquad {\mathfrak {P}}_{-i}^{r}m+1$

(44)

für $i=0,1,2,\ldots ,l-2$. Berücksichtigen wir die Tatsache, daß $\Lambda \equiv -1$ nach ${\mathfrak {l}}$ und $|\Lambda |=|{\sqrt {p}}|$ ist, so entspringt aus diesen Kongruenzen (44) ein anderer Beweis der Sätze 135 und 136 [Kummer (6^[2], 11^[3])].

Die sämtlichen Sätze und Beweise in diesem Kapitel 24 gelten entsprechend auch für $l=2$, nur daß dann die Diskriminante des Abelschen Körpers $k$ den Wert $d=(-1)^{\frac {p-1}{2}}p$ bekommt.

Die Lagrangesche Wurzelzahl $\Lambda$ des Körpers $k$ ist eine ganze Zahl des aus $k(\zeta )$ und $k$ zusammengesetzten Körpers, welche durch die in den Sätzen 133 und 138 aufgezählten Eigenschaften bis auf den Faktor $\zeta ^{*}$ völlig bestimmt ist. Um endlich auch diesen Faktor $\zeta ^{*}$ festzulegen, müßte man $\Lambda =|{\sqrt {p}}|\mathrm {e} ^{2i\pi \varphi }$ setzen derart, daß $0\leqq \varphi <1$ sei, und dann entscheiden, in welchem der $l$ Intervalle

$0\leqq \varphi <{\frac {1}{l}},\qquad {\frac {1}{l}}\leqq \varphi <{\frac {2}{l}},\,\ldots ,\qquad {\frac {l-1}{l}}\leqq \varphi <1$

die betreffende Zahl $\varphi$ gelegen ist. Aus dieser Frage entsteht in dem besonderen Falle, daß statt $l$ die Primzahl $2$ gewählt wird, das berühmte Problem der Bestimmung des Vorzeichens der Gaußschen Summen. Vgl. § 124. Für den Fall $l=3$ werden wir auf eine von Kummer in Angriff genommene Aufgabe geführt [Kummer (2^[4], 4^[5])].

Die Zahlen der Lagrangeschen Normalbasis werden gewöhnlich „Perioden“ genannt. Die Literatur weist eine Reihe von Abhandlungen auf, welche sich mit diesen Perioden, sowie mit verwandten ganzen Zahlen von Kreiskörpern beschäftigen [Kummer (3^[6], 17^[7]), Fuchs (1^[8], 2^[9]), Schwering (1^[10], 3^[11], 4^[12]), Kronecker (17^[13]), Smith (1^[14])]. In der Literatur finden sich noch Untersuchungen über besondere Kreiskörper [Berkenbusch (1^[15]), Eisenstein (10^[16]), Schwering (2^[17]), Weber (1^[18], 2^[19], 4^[20]), Woleskehl (1^[21])]. Auch sei hier erwähnt, daß, wenn die Primzahl $l<100$ und nicht $29$ oder $41$ ist, der Kreiskörper $k(\zeta )$ stets eine solche Idealklasse enthält, deren Potenzen alle Klassen des Körpers liefern [Kummer (11^[3], 13^[22])].

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1. Über die Kreisteilung und ihre Anwendung auf die Zahlentheorie. Werke 6, 254 (1837)
2. Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten komplexen Zahlen in ihre Primfaktoren. J. Math. 35 (1847).^{[WS 1]}
3. Mémoire sur la théorie des nombres complexes composés de racines de l’unité et des nombres entiers. J. de Math. 16 (1851).
4. Eine Aufgabe, betreffend die Theorie der kubischen Reste. J. Math. 23 (1842).^{[WS 2]}
5. De residuis cubicis disquisitiones nonnullae analyticae. J. Math. 32 (1846).^{[WS 3]}
6. Über die Divisoren gewisser Formen der Zahlen, welche aus der Theorie der Kreisteilung entstehen. J. Math. 30 (1846).^{[WS 4]}
7. Über die den Gaußschen Perioden der Kreisteilung entsprechenden Kongruenzwurzeln. J. Math. 58 (1856).^{[WS 5]}
8. Über die Perioden, welche aus den Wurzeln der Gleichung $\omega ^{n}=1$ gebildet sind, wenn $n$ eine zusammengesetzte Zahl ist. J. Math. 61 (1862).^{[WS 6]}
9. Über die aus Einheitswurzeln gebildeten komplexen Zahlen von periodischem Verhalten, insbesondere die Bestimmung der Klassenanzahl derselben. J. Math. 65 (1864).^{[WS 7]}
10. Zur Theorie der arithmetischen Funktionen, welche von Jacobi $\psi (\alpha )$ genannt werden. J. Math. 93 (1882).^{[WS 8]}
11. Über gewisse trinomische komplexe Zahlen. Acta Math. 10 (1887).^{[WS 9]}
12. Eine Eigenschaft der Primzahl 107. Acta Math. 11 (1887).^{[WS 10]}
13. Zur Theorie der Abelschen Gleichungen. Bemerkungen zum vorangehenden Aufsatz des Herrn Schwering. J. Math. 93 (1882).^{[WS 11]}
14. Report, on the theory of numbers. Werke.^{[WS 12]}
15. Über die aus den 8-ten Wurzeln der Einheit entspringenden Zahlen. Inauguraldissertation. Marburg 1891.
16. Allgemeine Untersuchungen über die Formen dritten Grades mit drei Variabeln, welche der Kreisteilung ihre Entstehung verdanken. J. Math. 28 u. 29 (1844), (1845).^{[WS 13]}
17. Untersuchung über die fünften Potenzreste und die aus fünften Einheitswurzeln gebildeten ganzen Zahlen. Z. Math. Phys. 27 (1882).
18. Theorie der Abelschen Zahlkörper. Acta Math. 8 u. 9 (1886), (1887).^{[WS 14]}
19. Über Abelsche Zahlkörper dritten und vierten Grades. Sitzungsber. Ges. Naturwiss. Marburg 1892.
20. Lehrbuch der Algebra. 2. Braunschweig 1896.^{[WS 15]}
21. Beweis, daß der zweite Faktor der Klassenanzahl für die aus den elften und dreizehnten Einheitswurzeln gebildeten Zahlen gleich eins ist. J. Math. 99 (1885).^{[WS 16]}
22. Über die Irregularität der Determinanten. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1853.^{[WS 17]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Kummer, Ernst Eduard: Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 35 (1847), S. 327–367 GDZ Göttingen
2. Kummer, Ernst Eduard: Eine Aufgabe, betreffend die Theorie der cubischen Reste, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 23 (1842), S. 285–286 GDZ Göttingen
3. Kummer, Ernst Eduard: De residuis cubicis disquisitiones nonnullae analyticae, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 32 (1846), S. 341–359 GDZ Göttingen
4. Kummer, Ernst Eduard: Über die Divisoren gewisser Formen der Zahlen, welche aus der Theorie der Kreistheilung entstehen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 30 (1846), S. 107–116 GDZ Göttingen
5. Kummer, Ernst Eduard: Über die den Gaußschen Perioden der Kreistheilung entsprechenden Congruenzwurzeln, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 53 (1856), S. 142–148 GDZ Göttingen
6. Fuchs, Lazarus: Ueber die Perioden, welche aus den Wurzeln der Gleichung wn=1 gebildet sind, wenn n eine zusammengesetzte Zahl ist, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 61 (1863), S. 374–386 GDZ Göttingen
7. Fuchs, Lazarus: Ueber die aus Einheitswurzeln gebildeten complexen Zahlen von periodischen Verhalten, insbesondere die Bestimmung der Klassenzahlen derselben, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 65 (1866), S. 74–111 GDZ Göttingen
8. Schwering, Karl: Zur Theorie der arithmetischen Funktionen, welche von Jacobi $\psi (\alpha )$ genannt werden, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 93 (1882), S. 334–337 GDZ Göttingen
9. Schwering, Karl: Über gewisse trinomische komplexe Zahlen, in: Acta Mathematica, Band 10 (1887) S. 57–86 Internet Archive
10. Schwering, Karl: Eine Eigenschaft der Primzahl 107, in: Acta Mathematica, Band 11 (1887) S. 119–120 Internet Archive
11. Kronecker, Leopold: Zur Theorie der Abelschen Gleichungen. Bemerkungen zum vorangehenden Aufsatz des Herrn Schwering, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 93 (1882), S. 338–364 GDZ Göttingen
12. Smith, Henry John Stephen^(WP): Report on the Theory of numbers. In: Glaisher, James Whitbread Lee^(WP) (Hrsg.): Mathematical Papers of Henry John Stephen Smith, S. 38–364, Oxford: Clarendon Press 1894 Internet Archive
13. Eisenstein, Gotthold: Allgemeine Untersuchungen über die Formen dritten Grades mit drei Variabeln, welche der Kreistheilung ihre Entstehung verdanken, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 28 (1844), S. 289–374 GDZ Göttingen und Band 29 (1845), S. 19–53 GDZ Göttingen
14. Weber, Heinrich: Theorie der Abel’schen Zahlkörper, in: Acta Mathematica, Band 8 (1886) S. 193–263 Internet Archive und Band 9 (1887) S. 105–130 Internet Archive
15. Weber, Heinrich: Lehrbuch der Algebra, Band 2 (1896) Internet Archive
16. Wolfskehl, Paul: Beweis, dass der zweite Factor der Klassenanzahl für die aus den elften und dreizehnten Einheitswurzeln gebildeten an Zahlen gleich Eins ist, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 99 (1885), S. 173–178 GDZ Göttingen
17. Kummer, Ernst Eduard: Über die Irregularität der Determinanten, in: Bericht über die zur Bekanntmachung geeigneten Verhandlungen der Königlich Preussischen Akademie, 1853, S. 194–200 Berlin-Brandenburgische Akademie

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 227. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/244&oldid=- (Version vom 14.10.2016)