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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.24

Die übrigen Behauptungen des Satzes 137 gehen unmittelbar aus den Sätzen 133 und 134 hervor.

Aus den zu $t$ gehörenden Wurzelzahlen gewinnt man leicht nach Formel (41) die sämtlichen Normalbasen $v$, $tv$, …, $t^{l-1}v$ des Abelschen Körpers $k$.

§ 111. Die Lagrangesche Normalbasis und die Lagrangesche Wurzelzahl.

Es sei wieder $l$ eine ungerade Primzahl, $\zeta =\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}$, ferner $p$ eine rationale Primzahl von der Form $lm+1$, es werde ${\mathsf {Z}}=\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{p}}$ gesetzt, und es bezeichne $R$ eine Primitivzahl nach $p$. Endlich bedeute $k$ den Abelschen Körper $l$-ten Grades mit der Diskriminante $p^{l-1}$.

Die $p-1$ Zahlen ${\mathsf {Z}}$, ${\mathsf {Z}}^{2}$, …, ${\mathsf {Z}}^{p-1}$ bilden eine Normalbasis des Körpers $k({\mathsf {Z}})$; aus dem Beweise des Hilfssatzes 20 geht dann hervor, daß die $l$ Zahlen

${\begin{alignedat}{5}\lambda _{0}&={\mathsf {Z}}&&+{\mathsf {Z}}^{R^{l}}&&+{\mathsf {Z}}^{R^{2l}}&&+\ldots &&+{\mathsf {Z}}^{R^{(m-1)^{l}}}\\\lambda _{1}&={\mathsf {Z}}^{R}&&+{\mathsf {Z}}^{R^{1+l}}&&+{\mathsf {Z}}^{R^{1+2l}}&&+\ldots &&+{\mathsf {Z}}^{R^{1+(m-1)^{l}}},\\&\,\,\,\vdots &&&&&&&&\\\lambda _{l-1}&={\mathsf {Z}}^{R^{l-1}}&&+{\mathsf {Z}}^{R^{2l-1}}&&+{\mathsf {Z}}^{R^{3l-1}}&&+\ldots &&+{\mathsf {Z}}^{R^{ml-1}}\end{alignedat}}$

eine Normalbasis des Körpers $k$ bilden. Aus dieser Normalbasis entspringt die folgende Wurzelzahl dieses Körpers:

${\begin{aligned}\Lambda &=\lambda _{0}+\zeta \lambda _{1}+\zeta ^{2}\lambda _{2}+\cdots +\zeta ^{l-1}\lambda _{l-1},\\&={\mathsf {Z}}+\zeta {\mathsf {Z}}^{R}+\zeta ^{2}{\mathsf {Z}}^{R^{2}}+\cdots +\zeta ^{p-2}{\mathsf {Z}}^{R^{p-2}}.\end{aligned}}$

Diese besondere Normalbasis $\lambda _{0}$, $\lambda _{1}$, …, $\lambda _{l-1}$ soll die Lagrangesche Normalbasis und die besondere Wurzelzahl $\Lambda$ die Lagrangesche Wurzelzahl heißen.

§ 112. Die charakteristischen Eigenschaften der Lagrangeschen Wurzelzahl.

Die Lagrangesche Wurzelzahl $\Lambda$ des Körpers $k$ zeichnet sich vor den übrigen Wurzelzahlen von $k$ durch folgende Eigenschaften aus:

Satz 138. Wenn die $l$-te Potenz $\Lambda ^{l}$ der Lagrangeschen Wurzelzahl $\Lambda$ gemäß Satz 135 durch die Formel

$\Lambda ^{l}={\mathfrak {p}}^{r_{0}+r_{-1}s+r_{-2}s^{2}+\cdots +r_{-l+2}s^{l-2}}$

dargestellt wird, so ist ${\mathfrak {p}}$ das durch die Formel

${\mathfrak {p}}=(p,\zeta -R^{-m})$, $\left(m={\frac {p-1}{l}}\right)$

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 225. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/242&oldid=- (Version vom 31.7.2018)