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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.24

Tatsache folgt, daß $v$, $tv$, …, $t^{l-1}v$ eine Basis des Körpers $k$ bilden; diese Basis ist offenbar eine Normalbasis. Die Zahl $\Omega$ ist wegen (42) die aus dieser Normalbasis entspringende Wurzelzahl des Körpers $k$.

§ 108. Die Zerlegung der $l$-ten Potenz einer Wurzelzahl im Körper der $l$-ten Einheitswurzeln.

Satz 135. Haben $l$, $p$, $\zeta$, $r$, $s$ die bisherige Bedeutung, und ist $k(v)$ ein Abelscher Körper $l$-ten Grades mit der Diskriminante $d=p^{l-1}$ und $\Omega$ eine Wurzelzahl des Körpers $k(v)$, so gestattet die Zahl $\omega =\Omega ^{l}$ im Körper $k(\zeta )$ die Zerlegung

$\omega ={\mathfrak {p}}^{r_{0}+r_{-1}s+r_{-2}s^{2}+\cdots +r_{-l+2}s^{l-2}}$,

wo ${\mathfrak {p}}$ ein bestimmtes in $p$ aufgehendes Primideal des Körpers $k(\zeta )$ bedeutet, und wo allgemein $r_{-i}$ die kleinste positive ganze rationale Zahl bedeutet, welche der $-i$-ten Potenz $r^{-i}$ der Primitivzahl $r$ nach $l$ kongruent ist [Kummer (6,11)].

Beweis. Die Primzahl $p$ zerfällt im Körper $k(\zeta )$ in $l-1$ voneinander verschiedene ideale Primfaktoren ${\mathfrak {p}}$, $s{\mathfrak {p}}$, …, $s^{l-2}{\mathfrak {p}}$; die Zahl $\omega$ muß durch jedes dieser Primideale teilbar sein. Denn nach dem Beweise zu Satz 134 ist die Relativdifferente des Körpers $k(\zeta ,\Omega )$ in bezug auf den Körper $k(\zeta )$ ein Teiler von $\Omega ^{l}=\omega$; wäre nun $\omega$ etwa zu ${\mathfrak {p}}$ prim, so wäre also diese Relativdifferente und wegen Satz 41 auch die Differente und endlich wegen Satz 68 auch die Diskriminante von $k(\zeta ,\Omega )$ prim zu ${\mathfrak {p}}$, was nicht sein kann, da sie die Diskriminante von $k(v)$ als Faktor enthält. Wegen $n(\omega )=p^{\frac {l(l-1)}{2}}$ sind ${\mathfrak {p}}$, $s{\mathfrak {p}}$, …, $s^{l-2}{\mathfrak {p}}$ zugleich die einzigen in $\omega$ aufgehenden Primideale. Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein solcher unter diesen Primfaktoren, welcher in der Zahl $\omega$ zu einer möglichst niedrigen Potenz vorkommt; dann haben wir

$\omega ={\mathfrak {p}}^{a_{0}+a_{1}s+\cdots +a_{l-2}s^{l-2}}$,

wo $a_{0}$, $a_{1}$, …, $a_{l-2}$ positive ganze rationale Zahlen bedeuten, unter welchen keine kleiner als $a_{0}$ ist. Die Bildung von $n(\omega )$ ergibt

$a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{l-2}={\frac {l(l-1)}{2}}$.

Da $a_{0}$, $a_{1}$, …, $a_{l-2}$ sämtlich $>0$ sind, können hiernach diese Zahlen nicht sämtlich durch $l$ teilbar sein. Zufolge der ersten im Satze 133 bewiesenen Eigenschaft wird

$\omega ^{s-r}={\mathfrak {p}}^{(s-r)(a_{0}+a_{1}s+\cdots +a_{l-2}s^{l-2})}=\alpha ^{l}$,

wo $\alpha$ eine Zahl in $k(\zeta )$ ist. Da die zu ${\mathfrak {p}}$ konjugierten Primideale sämtlich von ${\mathfrak {p}}$ und untereinander verschieden sind, so folgt hieraus, daß die ganzzahlige Funktion

$(s-r)(a_{0}+a_{1}s+\cdots +a_{l-2}s^{l-2})$

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 222. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/239&oldid=- (Version vom 31.7.2018)