Tatsache folgt, daß
,
, …,
eine Basis des Körpers
bilden; diese Basis ist offenbar eine Normalbasis. Die Zahl
ist wegen (42) die aus dieser Normalbasis entspringende Wurzelzahl des Körpers
.
§ 108.
Die Zerlegung der
-ten Potenz einer Wurzelzahl im Körper der
-ten Einheitswurzeln.
Satz 135. Haben
,
,
,
,
die bisherige Bedeutung, und ist
ein Abelscher Körper
-ten Grades mit der Diskriminante
und
eine Wurzelzahl des Körpers
, so gestattet die Zahl
im Körper
die Zerlegung
,
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wo
ein bestimmtes in
aufgehendes Primideal des Körpers
bedeutet, und wo allgemein
die kleinste positive ganze rationale Zahl bedeutet, welche der
-ten Potenz
der Primitivzahl
nach
kongruent ist [Kummer (6,11)].
Beweis. Die Primzahl
zerfällt im Körper
in
voneinander verschiedene ideale Primfaktoren
,
, …,
; die Zahl
muß durch jedes dieser Primideale teilbar sein. Denn nach dem Beweise zu Satz 134 ist die Relativdifferente des Körpers
in bezug auf den Körper
ein Teiler von
; wäre nun
etwa zu
prim, so wäre also diese Relativdifferente und wegen Satz 41 auch die Differente und endlich wegen Satz 68 auch die Diskriminante von
prim zu
, was nicht sein kann, da sie die Diskriminante von
als Faktor enthält. Wegen
sind
,
, …,
zugleich die einzigen in
aufgehenden Primideale. Es sei
ein solcher unter diesen Primfaktoren, welcher in der Zahl
zu einer möglichst niedrigen Potenz vorkommt; dann haben wir
,
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wo
,
, …,
positive ganze rationale Zahlen bedeuten, unter welchen keine kleiner als
ist. Die Bildung von
ergibt
.
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Da
,
, …,
sämtlich
sind, können hiernach diese Zahlen nicht sämtlich durch
teilbar sein. Zufolge der ersten im Satze 133 bewiesenen Eigenschaft wird
,
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wo
eine Zahl in
ist. Da die zu
konjugierten Primideale sämtlich von
und untereinander verschieden sind, so folgt hieraus, daß die ganzzahlige Funktion
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