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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.24

bedeutet, die nicht gleich der $l$-ten Potenz einer Zahl in $k(\zeta )$ wird, und welche die drei in Satz 133 angegebenen Eigenschaften besitzt, so ist $\Omega ={\sqrt[{l}]{\omega }}$ eine Wurzelzahl des Abelschen Körpers $l$-ten Grades von der Diskriminante $p^{l-1}$.

Beweis. Die Zahl $\Omega ={\sqrt[{l}]{\omega }}$ bestimmt einen relativ Galoisschen Körper vom Relativgrade $l$ in bezug auf den Körper $k(\zeta )$. Es sei $t$ diejenige Substitution der Relativgruppe, für welche $t\Omega =\zeta ^{-1}\Omega$ wird. Mit Rücksicht auf die erste Eigenschaft der Zahl $\omega$, die sich in der Formel $s\omega =\omega ^{r}\alpha ^{l}$ ausdrückt, wo $\alpha$ eine Zahl in $k(\zeta )$ bedeutet, ist der durch $\zeta$ und $\Omega$ bestimmte Körper vom $l(l-1)$-ten Grade ein Galoisscher Körper. Die Zahl $\alpha$ erfüllt die Bedingung

$\omega ^{1-r^{l-1}}=\alpha ^{l{\frac {s^{l-1}-r^{l-1}}{s-r}}}$;

wir legen sie eindeutig fest durch die weitere Forderung

$\omega ^{\frac {1-r^{l-1}}{l}}=\alpha ^{\frac {s^{l-1}-r^{l-1}}{s-r}}$.

Wir wollen nun unter $t$ und $s$ zugleich diejenigen bestimmten Substitutionen der Gruppe dieses Galoisschen Körpers $k(\zeta ,\,\Omega )$ verstehen, welche neben den für $t$ und $s$ schon festgesetzten Beziehungen noch $t\zeta =\zeta$ und $s\Omega =\Omega ^{r}\alpha$ ergeben. Diese beiden Substitutionen $s$ und $t$ sind miteinander vertauschbar, da

$st\Omega =\zeta ^{-r}\Omega ^{r}\alpha =ts\Omega$

wird, d. h. der Körper $k(\zeta ,\,\Omega )$ ist ein Abelscher Körper. Ferner wird die Untergruppe der Gruppe von $k(\zeta ,\,\Omega )$, welche aus den Potenzen der Substitution $s$ besteht, genau vom Grade $l-1$. Der zu dieser Untergruppe gehörige Unterkörper von $k(\zeta ,\,\Omega )$ ist daher vom $l$-ten Grade; er ist wiederum ein Abelscher Körper; dieser Körper werde mit $k$ bezeichnet.

Wir beweisen zunächst, daß die Diskriminante dieses Körpers $k$ zu $l$ prim ist. Da $\Omega \equiv \pm 1$ nach ${\mathfrak {l}}=(1-\zeta )$ ist, so stellt der Quotient ${\frac {\Omega \mp 1}{1-\zeta }}$ eine ganze Zahl dar. Wegen $t\Omega =\zeta ^{-1}\Omega$ hat die Relativdifferente dieser ganzen Zahl in bezug auf den Körper $k(\zeta )$ den Wert $\varepsilon \Omega ^{l-1}$, wo $\varepsilon$ eine Einheit bedeutet, und daher ist die Relativdifferente des Körpers $k(\zeta ,\,\Omega )$ in bezug auf den Körper $k(\zeta )$ prim zu $l$. Bedeutet ${\mathfrak {L}}$ ein in ${\mathfrak {l}}$ aufgehendes Primideal des Körpers $k(\zeta ,\,\Omega )$, so kommt dieses nach Satz 93 in ${\mathfrak {l}}$ zu keiner höheren als der ersten Potenz vor, d. h. es ist $l={\mathfrak {L}}^{l-1}{\mathfrak {M}}$, wo ${\mathfrak {M}}$ sich nicht mehr durch ${\mathfrak {L}}$ teilen läßt. Hieraus folgt nach § 39 und § 40, daß der Trägheitskörper des Primideals ${\mathfrak {L}}$ vom Grade $l$ sein muß, und daher ist $k$ selbst dieser Trägheitskörper. Nach Satz 76 ist die Differente des Körpers $k$ nicht durch ${\mathfrak {L}}$ und folglich auf Grund des Satzes 68 auch die Diskriminante des Körpers $k$ nicht durch $l$ teilbar.

Wir setzen

$v={\frac {\pm 1+\Omega +s\Omega +s^{2}\Omega +\cdots +s^{l-2}\Omega }{l}},$

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 220. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/237&oldid=- (Version vom 31.7.2018)