Zweitens. Es gelten die sich gegenseitig bedingenden Kongruenzen
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Drittens. , die Norm der Zahl in , ist .
Beweis. Die Zahlen und sind solche Zahlen in , welche beim Übergang von in ungeändert bleiben. Sie sind deshalb Zahlen in . Hieraus folgt die erste in Satz 133 angegebene Eigenschaft.
Da , , …, Basiszahlen des Körpers sind, so gilt insbesondere
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für bestimmte ganze rationale Zahlen , …,. Die Anwendung der Substitution auf diese Formel lehrt, daß ist, und da die Koeffizienten , , …, keinen gemeinsamen Teiler haben können, so haben sie sämtlich den gleichen Wert , d. h. es ist . Aus dieser Formel folgt:
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Mit Hilfe von erkennen wir die zweite Eigenschaft der Zahl .
Endlich folgt durch eine geeignete Anwendung des Multiplikationssatzes der Determinanten
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wo
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die Relativnorm von in bezug auf den Körper ist. Das Quadrat der Determinante linker Hand ist gleich der Diskriminante des Körpers , d. h. , und folglich ergibt sich
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Damit ist der Satz 133 vollständig bewiesen.
Die drei in Satz 133 bewiesenen Eigenschaften einer Wurzelzahl des Körpers reichen umgekehrt völlig zur Charakterisierung einer solchen Zahl hin. Es gilt nämlich folgende Tatsache:
Satz 134. Es sei eine ungerade Primzahl und , ferner eine Primzahl nach ; wenn dann eine solche Zahl des Kreiskörpers