Zweitens. Es gelten die sich gegenseitig bedingenden Kongruenzen
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Drittens.
, die Norm der Zahl
in
, ist
.
Beweis. Die Zahlen
und
sind solche Zahlen in
, welche beim Übergang von
in
ungeändert bleiben. Sie sind deshalb Zahlen in
. Hieraus folgt die erste in Satz 133 angegebene Eigenschaft.
Da
,
, …,
Basiszahlen des Körpers
sind, so gilt insbesondere
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für bestimmte ganze rationale Zahlen
,
…,
. Die Anwendung der Substitution
auf diese Formel lehrt, daß
ist, und da die Koeffizienten
,
, …,
keinen gemeinsamen Teiler
haben können, so haben sie sämtlich den gleichen Wert
, d. h. es ist
. Aus dieser Formel folgt:
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Mit Hilfe von
erkennen wir die zweite Eigenschaft der Zahl
.
Endlich folgt durch eine geeignete Anwendung des Multiplikationssatzes der Determinanten
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wo
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die Relativnorm von
in bezug auf den Körper
ist. Das Quadrat der Determinante linker Hand ist gleich der Diskriminante des Körpers
, d. h.
, und folglich ergibt sich
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Damit ist der Satz 133 vollständig bewiesen.
Die drei in Satz 133 bewiesenen Eigenschaften einer Wurzelzahl
des Körpers
reichen umgekehrt völlig zur Charakterisierung einer solchen Zahl hin. Es gilt nämlich folgende Tatsache:
Satz 134. Es sei
eine ungerade Primzahl und
, ferner
eine Primzahl
nach
; wenn dann
eine solche Zahl des Kreiskörpers