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Hilfssatz 20. Wenn ein Abelscher Körper eine Normalbasis besitzt, so besitzt auch jeder Unterkörper des Körpers eine Normalbasis.

Beweis. Es sei der Grad von , und es seien , …, die Substitutionen der Gruppe des Abelschen Körpers ; ferner sei eine solche ganze Zahl in , die mit ihren konjugierten zusammen eine Normalbasis von liefert. Bilden dann , …, diejenige Untergruppe jener Gruppe von Substitutionen, zu welcher der Unterkörper von gehört, so kann man dazu unter jenen Substitutionen , …, solche Substitutionen , …, finden, daß die Substitutionen , …, , abgesehen von ihrer Reihenfolge, durch die Substitutionenprodukte

, …, ; , …, ; …; , …,

dargestellt werden. Ist eine ganze Zahl in , so gilt, da eine solche stets auch eine ganze Zahl in ist, eine Gleichung

,

wo , …, , …, , . .., ganze rationale Zahlen sind. Berücksichtigen wir, daß bei Anwendung der einzelnen Substitutionen , …, ungeändert bleibt, und andererseits, daß zwischen den Zahlen , …, ; …; , …, keine lineare Relation mit ganzen rationalen nicht sämtlich verschwindenden Koeffizienten stattfinden kann, so folgt offenbar:

, …, ,

d. h.: wenn

gesetzt wird, so bilden die Zahlen , , …, eine Normalbasis des Körpers .

Satz 132. Ein jeder Abelsche Körper vom -ten Grade, dessen Diskriminante zu prim ist, besitzt eine Normalbasis.

Beweis. Die verschiedenen rationalen Primzahlen in seien , , …. Da keine dieser Primzahlen in aufgeht, so ist nach dem Beweise des Satzes 131 der Abelsche Körper in demjenigen Kreiskörper als Unterkörper enthalten, welcher durch die Zahlen , , …, d. h. welcher durch die Einheitswurzel bestimmt ist. Für den Körper bilden nach Satz 118 die Zahlen , , …, und folglich auch die Zahlen , , …, eine Basis; die letztere Basis ist eine Normalbasis. Entsprechendes gilt für , ….

Man bilde nun das System der Zahlen , wo die Exponenten ; ; … bez. die Zahlen

, , …, ; , , …, ; …
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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 217. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/234&oldid=- (Version vom 31.7.2018)