Hilfssatz 20. Wenn ein Abelscher Körper
eine Normalbasis besitzt, so besitzt auch jeder Unterkörper
des Körpers
eine Normalbasis.
Beweis. Es sei
der Grad von
, und es seien
, …,
die Substitutionen der Gruppe des Abelschen Körpers
; ferner sei
eine solche ganze Zahl in
, die mit ihren konjugierten zusammen eine Normalbasis von
liefert. Bilden dann
, …,
diejenige Untergruppe jener Gruppe von
Substitutionen, zu welcher der Unterkörper
von
gehört, so kann man dazu unter jenen
Substitutionen
, …,
solche
Substitutionen
, …,
finden, daß die
Substitutionen
, …,
, abgesehen von ihrer Reihenfolge, durch die Substitutionenprodukte
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, …, ; , …, ; …; , …,
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dargestellt werden. Ist
eine ganze Zahl in
, so gilt, da eine solche stets auch eine ganze Zahl in
ist, eine Gleichung
|
,
|
wo
, …,
, …,
, . ..,
ganze rationale Zahlen sind. Berücksichtigen wir, daß
bei Anwendung der einzelnen Substitutionen
, …,
ungeändert bleibt, und andererseits, daß zwischen den
Zahlen
, …,
; …;
, …,
keine lineare Relation mit ganzen rationalen nicht sämtlich verschwindenden Koeffizienten stattfinden kann, so folgt offenbar:
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, …, ,
|
d. h.: wenn
|
|
gesetzt wird, so bilden die
Zahlen
,
, …,
eine Normalbasis des Körpers
.
Satz 132. Ein jeder Abelsche Körper
vom
-ten Grade, dessen Diskriminante
zu
prim ist, besitzt eine Normalbasis.
Beweis. Die verschiedenen rationalen Primzahlen in
seien
,
, …. Da keine dieser Primzahlen in
aufgeht, so ist nach dem Beweise des Satzes 131 der Abelsche Körper
in demjenigen Kreiskörper als Unterkörper enthalten, welcher durch die Zahlen
,
, …, d. h. welcher durch die Einheitswurzel
bestimmt ist. Für den Körper
bilden nach Satz 118 die Zahlen
,
, …,
und folglich auch die Zahlen
,
, …,
eine Basis; die letztere Basis ist eine Normalbasis. Entsprechendes gilt für
, ….
Man bilde nun das System der
Zahlen
, wo die Exponenten
;
; … bez. die Zahlen
|
, , …, ; , , …, ; …
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