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keinen gemeinsamen Unterkörper haben. Es sei nun eine den Körper bestimmende ganze Zahl von der Art, daß auch keine Potenz von in einem Unterkörper von liegt; es sei ferner eine solche Substitution der Gruppe von , welche mit ihren Potenzen diese Gruppe erzeugt. Wir setzen, wenn und beliebige Exponenten sind:

Die Ausdrücke können nicht sämtlich verschwinden, da sonst wegen notwendig auch die Determinante

verschwinden müßte und dann nach der Bemerkung auf S. 71 die Zahl keine den Körper bestimmende Zahl wäre. Es sei eine solche Potenz von , für welche ausfällt. Vermöge folgt dann, daß die Zahl und ferner alle Zahlen Zahlen in dem Körper sind. Da

wird und ebenfalls eine den Körper bestimmende Zahl ist, so sehen wir, daß der durch und bestimmte Körper, dessen Grad höchstens ist, den Körper vom Grade enthält; der erstere Körper ist daher mit diesem letzteren Körper identisch, und die Zahl besitzt die im Hilfssatz 15 angegebene Eigenschaft.

Wir machen noch folgende Bemerkung. Der durch und bestimmte Körper ist, wie man leicht erkennt, relativ zyklisch vom Relativgrade in bezug auf und besitzt daher einen einzigen Unterkörper‚ der enthält und relativ zyklisch vom Grade in bezug auf ist. Bedeutet nun den Unterkörper -ten Grades von , so muß danach der aus und zusammengesetzte Körper mit dem durch und bestimmten Körper identisch sein.

§ 102. Von gewissen Primzahlen in der Diskriminante eines zyklischen Körpers vom Grade .

Hilfssatz 16. Wenn ein zyklischer Körper von einem Grade ist, wo eine beliebige Primzahl ( oder ) ist, und wenn den Unterkörper -ten Grades von bezeichnet, so besitzen die etwaigen von verschiedenen Primteiler der Diskriminante von durchweg die Kongruenzeigenschaft nach .

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 208. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/225&oldid=- (Version vom 31.7.2018)