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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.23

keinen gemeinsamen Unterkörper haben. Es sei nun $\alpha$ eine den Körper $C_{h}$ bestimmende ganze Zahl von der Art, daß auch keine Potenz von $\alpha$ in einem Unterkörper von $C_{h}$ liegt; es sei ferner $t$ eine solche Substitution der Gruppe von $C_{h}$, welche mit ihren Potenzen diese Gruppe erzeugt. Wir setzen, wenn $a$ und $b$ beliebige Exponenten sind:

$K\left(\alpha ^{a},{\mathsf {Z}}^{b}\right)=\alpha ^{a}+{\mathsf {Z}}^{b}\cdot (t\alpha )^{a}+{\mathsf {Z}}^{2b}\cdot (t^{2}\alpha )^{a}+\cdots +{\mathsf {Z}}^{\left(l^{h}-1\right)b}\cdot (t^{l^{h}-1}\alpha )^{a}.$

Die Ausdrücke $K\left(\alpha ,{\mathsf {Z}}\right),K\left(\alpha ^{2},{\mathsf {Z}}\right),\dots ,K\left(\alpha ^{l^{h}-1},{\mathsf {Z}}\right)$ können nicht sämtlich verschwinden, da sonst wegen $K\left(\alpha ^{0},{\mathsf {Z}}\right)=0$ notwendig auch die Determinante

${\begin{array}{|llll|}1,&1,&\dots ,&1\\\alpha ,&t\alpha ,&\dots ,&t^{l^{h}-1}\alpha \\&&\vdots &\\\alpha ^{l^{h}-1},&(t\alpha )^{l^{h}-1},&\dots ,&(t^{l^{h}-1}\alpha )^{l^{h}-1}\end{array}}$

verschwinden müßte und dann nach der Bemerkung auf S. 71 die Zahl $\alpha$ keine den Körper $C_{h}$ bestimmende Zahl wäre. Es sei $\alpha ^{\ast }=\alpha ^{a}$ eine solche Potenz von $\alpha$, für welche $K=K\left(\alpha ^{\ast },{\mathsf {Z}}\right)\neq 0$ ausfällt. Vermöge $K\left(t\alpha ^{\ast },{\mathsf {Z}}^{b}\right)={\mathsf {Z}}^{-b}K\left(\alpha ^{\ast },{\mathsf {Z}}^{b}\right)$ folgt dann, daß die Zahl $K^{l^{h}}$ und ferner alle Zahlen ${\tfrac {K\left(\alpha ^{\ast },{\mathsf {Z}}^{b}\right)}{K^{b}}}$ Zahlen in dem Körper $k({\mathsf {Z}})$ sind. Da

$\alpha ^{\ast }={\frac {1}{l^{h}}}\left\{K\left(\alpha ^{\ast },{\mathsf {Z}}\right)+K\left(\alpha ^{\ast },{\mathsf {Z}}^{2}\right)+\cdots +K\left(\alpha ^{\ast },{\mathsf {Z}}^{l^{h}}\right)\right\}$

wird und $\alpha ^{\ast }$ ebenfalls eine den Körper $C_{h}$ bestimmende Zahl ist, so sehen wir, daß der durch $K$ und ${\mathsf {Z}}$ bestimmte Körper, dessen Grad höchstens $l^{2h-1}(l-1)$ ist, den Körper $k\left({\mathsf {Z}},C_{h}\right)$ vom Grade $l^{2h-1}(l-1)$ enthält; der erstere Körper ist daher mit diesem letzteren Körper identisch, und die Zahl $\varkappa =K^{l^{h}}$ besitzt die im Hilfssatz 15 angegebene Eigenschaft.

Wir machen noch folgende Bemerkung. Der durch ${\mathsf {Z}}$ und ${\sqrt[{l^{h}}]{\varkappa }}$ bestimmte Körper ist, wie man leicht erkennt, relativ zyklisch vom Relativgrade $l^{h}$ in bezug auf $k({\mathsf {Z}})$ und besitzt daher einen einzigen Unterkörper‚ der $k({\mathsf {Z}})$ enthält und relativ zyklisch vom Grade $l$ in bezug auf $k({\mathsf {Z}})$ ist. Bedeutet nun $C_{1}$ den Unterkörper $l$-ten Grades von $C_{h}$, so muß danach der aus $k({\mathsf {Z}})$ und $C_{1}$ zusammengesetzte Körper mit dem durch ${\mathsf {Z}}$ und ${\sqrt[{l}]{\varkappa }}$ bestimmten Körper identisch sein.

§ 102. Von gewissen Primzahlen in der Diskriminante eines zyklischen Körpers vom Grade $l^{h}$.

Hilfssatz 16. Wenn $C_{h}$ ein zyklischer Körper von einem Grade $l^{h}$ ist, wo $l$ eine beliebige Primzahl ($=2$ oder $\neq 2$) ist, und wenn $C_{1}$ den Unterkörper $l$-ten Grades von $C_{h}$ bezeichnet, so besitzen die etwaigen von $l$ verschiedenen Primteiler $p$ der Diskriminante von $C_{1}$ durchweg die Kongruenzeigenschaft $p\equiv 1$ nach $l^{h}$.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 208. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/225&oldid=- (Version vom 31.7.2018)