keinen gemeinsamen Unterkörper haben. Es sei nun
eine den Körper
bestimmende ganze Zahl von der Art, daß auch keine Potenz von
in einem Unterkörper von
liegt; es sei ferner
eine solche Substitution der Gruppe von
, welche mit ihren Potenzen diese Gruppe erzeugt. Wir setzen, wenn
und
beliebige Exponenten sind:
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Die Ausdrücke
können nicht sämtlich verschwinden, da sonst wegen
notwendig auch die Determinante
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verschwinden müßte und dann nach der Bemerkung auf S. 71 die Zahl
keine den Körper
bestimmende Zahl wäre. Es sei
eine solche Potenz von
, für welche
ausfällt. Vermöge
folgt dann, daß die Zahl
und ferner alle Zahlen
Zahlen in dem Körper
sind. Da
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wird und
ebenfalls eine den Körper
bestimmende Zahl ist, so sehen wir, daß der durch
und
bestimmte Körper, dessen Grad höchstens
ist, den Körper
vom Grade
enthält; der erstere Körper ist daher mit diesem letzteren Körper identisch, und die Zahl
besitzt die im Hilfssatz 15 angegebene Eigenschaft.
Wir machen noch folgende Bemerkung. Der durch
und
bestimmte Körper ist, wie man leicht erkennt, relativ zyklisch vom Relativgrade
in bezug auf
und besitzt daher einen einzigen Unterkörper‚ der
enthält und relativ zyklisch vom Grade
in bezug auf
ist. Bedeutet nun
den Unterkörper
-ten Grades von
, so muß danach der aus
und
zusammengesetzte Körper mit dem durch
und
bestimmten Körper identisch sein.
§ 102.
Von gewissen Primzahlen in der Diskriminante eines zyklischen Körpers vom Grade
.
Hilfssatz 16. Wenn
ein zyklischer Körper von einem Grade
ist, wo
eine beliebige Primzahl (
oder
) ist, und wenn
den Unterkörper
-ten Grades von
bezeichnet, so besitzen die etwaigen von
verschiedenen Primteiler
der Diskriminante von
durchweg die Kongruenzeigenschaft
nach
.