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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.1

Koeffizienten $a_{1}$, …, $a_{m}$ ganze rationale Zahlen sind, so würde durch Multiplikation dieser Gleichung mit $b^{m-1}$

${\frac {a^{m}}{b}}=-a_{1}a^{m-1}-a_{2}ba^{m-2}-\cdots -a_{m}b^{m-1}=A$

folgen, wo $A$ eine ganze rationale Zahl wäre, und dies ist nicht möglich [Dedekind (1^[1]), Kronecker (16^[2])].

§ 3. Die Norm, die Differente, die Diskriminante einer Zahl. Die Basis des Zahlkörpers.

Ist $\alpha$ eine beliebige Zahl des Körpers $k$, und bedeuten $\alpha '$, …, $\alpha ^{(m-1)}$ die zu $\alpha$ konjugierten Zahlen, so heißt das Produkt

$n(\alpha )=\alpha \alpha '\ldots \alpha ^{(m-1)}$

die Norm der Zahl $\alpha$. Die Norm einer Zahl $\alpha$ ist stets eine rationale Zahl. Ferner nenne ich das Produkt

$\delta (\alpha )=(\alpha -\alpha ')(\alpha -\alpha '')\ldots (\alpha -\alpha ^{(m-1)})$

die Differente der Zahl $\alpha$. Die Differente einer Zahl ist wiederum eine Zahl des Körpers $k$. Es ist nämlich, wenn zur Abkürzung

$f(x)=(x-\alpha )(x-\alpha ')\ldots (x-\alpha ^{(m-1)})$

gesetzt wird, $\textstyle \delta (\alpha )=\left[{\frac {df(x)}{dx}}\right]_{x=\alpha }$. Endlich heißt das Produkt

${\begin{aligned}d(\alpha )&=(\alpha -\alpha ')^{2}(\alpha -\alpha '')^{2}(\alpha '-\alpha '')^{2}\ldots (\alpha ^{(m-2)}-\alpha ^{(m-1)})^{2}\\&=\left|{\begin{matrix}1,&\alpha ,&\alpha ^{2},&\ldots ,&\alpha ^{m-1}\\1,&\alpha ',&\alpha ^{\prime 2},&\ldots ,&\alpha ^{\prime m-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1,&\alpha ^{(m-1)},&\left(\alpha ^{(m-1)}\right)^{2},&\ldots ,&\left(\alpha ^{(m-1)}\right)^{m-1}\\\end{matrix}}\right|^{2}\end{aligned}}$

die Diskriminante der Zahl $\alpha$. Die Diskriminante einer Zahl ist eine rationale Zahl, und zwar bis auf das Vorzeichen gleich der Norm der Differente; es ist nämlich $d(\alpha )=(-1)^{\frac {m(m-1)}{2}}n(\delta )$.

Ist $\alpha$ eine den Körper bestimmende Zahl, so sind ihre Differente und Diskriminante verschieden von $0$. Umgekehrt, wenn Differente oder Diskriminante einer Zahl von $0$ verschieden sind, so bestimmt diese den Körper. Ist $\alpha$ eine ganze Zahl, so sind ihre Norm, ihre Differente, ihre Diskriminante ebenfalls ganz.

Satz 5. In einem Zahlkörper $m$-ten Grades gibt es stets $m$ ganze Zahlen $\omega _{1}$, $\omega _{2}$, …, $\omega _{m}$ von der Beschaffenheit, daß jede andere ganze Zahl $\omega$ des Körpers sich in der Gestalt

$\omega =a_{1}\omega _{1}+a_{2}\omega _{2}+\cdots +a_{m}\omega _{m}$

darstellen läßt, wo $a_{1}$, …, $a_{m}$ ganze rationale Zahlen sind.

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1. Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.^{[WS 1]}
2. Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen. J. Math. 92 (1882).^{[WS 2]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Dedekind, Richard: Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 4. Auflage, Braunschweig, 1894, Internet Archive
2. Kronecker, Leopold: Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 92 (1882), S. 1–122 GDZ Göttingen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 71. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/88&oldid=- (Version vom 31.7.2018)