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Koeffizienten , …, ganze rationale Zahlen sind, so würde durch Multiplikation dieser Gleichung mit

folgen, wo eine ganze rationale Zahl wäre, und dies ist nicht möglich [Dedekind (1[1]), Kronecker (16[2])].

§ 3. Die Norm, die Differente, die Diskriminante einer Zahl. Die Basis des Zahlkörpers.

Ist eine beliebige Zahl des Körpers , und bedeuten , …, die zu konjugierten Zahlen, so heißt das Produkt

die Norm der Zahl . Die Norm einer Zahl ist stets eine rationale Zahl. Ferner nenne ich das Produkt

die Differente der Zahl . Die Differente einer Zahl ist wiederum eine Zahl des Körpers . Es ist nämlich, wenn zur Abkürzung

gesetzt wird, . Endlich heißt das Produkt

die Diskriminante der Zahl . Die Diskriminante einer Zahl ist eine rationale Zahl, und zwar bis auf das Vorzeichen gleich der Norm der Differente; es ist nämlich .

Ist eine den Körper bestimmende Zahl, so sind ihre Differente und Diskriminante verschieden von . Umgekehrt, wenn Differente oder Diskriminante einer Zahl von verschieden sind, so bestimmt diese den Körper. Ist eine ganze Zahl, so sind ihre Norm, ihre Differente, ihre Diskriminante ebenfalls ganz.

Satz 5. In einem Zahlkörper -ten Grades gibt es stets ganze Zahlen , , …, von der Beschaffenheit, daß jede andere ganze Zahl des Körpers sich in der Gestalt

darstellen läßt, wo , …, ganze rationale Zahlen sind.


  1. [356] Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.[WS 1]
  2. [359] Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen. J. Math. 92 (1882).[WS 2]

Anmerkungen (Wikisource)

  1. Dedekind, Richard: Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 4. Auflage, Braunschweig, 1894, Internet Archive
  2. Kronecker, Leopold: Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 92 (1882), S. 1–122 GDZ Göttingen
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 71. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/88&oldid=- (Version vom 31.7.2018)