Setzt man, falls durch mehr als eine Primzahl teilbar ist:
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wo , , … verschiedene rationale Primzahlen seien, so kann man eine Partialbruchzerlegung vornehmen
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wo , , … ganze rationale positive oder negative Zahlen bedeuten, und dann , zu , zu , … prim ist. Die Benutzung dieser Zerlegung liefert
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wenn , … gesetzt wird; es entsteht also durch Zusammensetzung der Körper der -ten Einheitswurzeln, der -ten Einheitswurzeln‚ … genau der Rationalitätsbereich. Wir behandeln dementsprechend zunächst den einfacheren Fall , wo in nur eine Primzahl aufgeht.
§ 95.
Der Grad des Kreiskörpers der -ten Einheitswurzeln und die Zerlegung der Primzahl in diesem Körper.
Für den Kreiskörper der -ten Einheitswurzeln gelten folgende Tatsachen:
Satz 120. Bedeutet die Primzahl oder eine ungerade Primzahl, so besitzt der durch bestimmte Kreiskörper der -ten Einheitswurzeln den Grad . Die Primzahl gestattet in die Zerlegung , wo ein Primideal ersten Grades in ist.
Beweis. genügt der Gleichung vom -ten Grade:
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Bedeutet eine nicht durch teilbare ganze rationale Zahl und dann eine ganze rationale Zahl von der Art, daß nach ausfällt, so folgt ähnlich wie auf S. 195, daß sowohl
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als auch der reziproke Wert davon, nämlich:
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ganze Zahlen sind; es ist daher eine Einheit. Auf Grund dieses Umstandes können in der nämlichen Weise wie in § 91 die Gleichungen:
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