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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.21

Vierter Teil.

Der Kreiskörper.

21. Die Einheitswurzeln mit Primzahlexponent $l$ und der durch sie bestimmte Kreiskörper.

§ 91. Der Grad des Kreiskörpers der $l$-ten Einheitswurzeln und die Zerlegung der Primzahl $l$ in diesem Körper.

Es bedeute $l$ eine ungerade rationale Primzahl, und es sei $\zeta =\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}$. Die Gleichung $l$-ten Grades

$x^{l}-1=0$

besitzt die $l$ Wurzeln

$\zeta ,\zeta ^{2},\dots ,\zeta ^{l-1},\zeta ^{l}=1.$

Diese Zahlen heißen die $l$-ten Einheitswurzeln. Der durch sie bestimmte Körper werde mit $k(\zeta )$ bezeichnet und der Kreiskörper der $l$-ten Einheitswurzeln genannt. Es gilt für ihn zunächst die folgende Tatsache:

Satz 117. Bedeutet $l$ eine ungerade Primzahl, so besitzt der durch $\zeta =\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}$ bestimmte Kreiskörper $k(\zeta )$ der $l$-ten Einheitswurzeln den Grad $l-1$. Die Primzahl $l$ gestattet in $k(\zeta )$ die Zerlegung $l={\mathfrak {l}}^{l-1}$, wo ${\mathfrak {l}}=(1-\zeta )$ ein Primideal ersten Grades in $k(\zeta )$ ist.

Beweis. Die Zahl $\zeta$ genügt der Gleichung $l-1$-ten Grades

$F(x)={\frac {x^{l}-1}{x-1}}=x^{l-1}+x^{l-2}+\cdots +1=0;$

also ist der Körper $k(\zeta )$ höchstens vom Grade $l-1$. Da $\zeta$, $\zeta ^{2}$, …, $\zeta ^{l-1}$ die $l-1$ Wurzeln dieser Gleichung $F(x)=0$ sind, so gilt identisch in $x$ die Gleichung:

$x^{l-1}+x^{l-2}+\cdots +1=(x-\zeta )\left(x-\zeta ^{2}\right)\dots \left(x-\zeta ^{l-1}\right);$

für $x=1$ folgt hieraus:

$l=(1-\zeta )\left(1-\zeta ^{2}\right)\dots \left(1-\zeta ^{l-1}\right).$

(31)

Es bedeute nun $g$ eine beliebige durch $l$ nicht teilbare ganze rationale Zahl $>1$ ‚ und es sei dann $g'$ eine positive ganze rationale Zahl von der Art, daß $gg'\equiv 1$ nach $l$ ausfällt. Dann sind die Quotienten

${\frac {1-\zeta ^{g}}{1-\zeta }}=1+\zeta +\zeta ^{2}+\cdots +\zeta ^{g-1}$

und

${\frac {1-\zeta }{1-\zeta ^{g}}}={\frac {1-\zeta ^{gg'}}{1-\zeta ^{g}}}={\frac {1-\left(\zeta ^{g}\right)^{g'}}{1-\zeta ^{g}}}=1+\zeta ^{g}+\zeta ^{2g}+\dots +\zeta ^{(g'-1)g}$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 195. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/212&oldid=- (Version vom 31.7.2018)