Vierter Teil.
Der Kreiskörper.
21. Die Einheitswurzeln mit Primzahlexponent
und der durch sie bestimmte Kreiskörper.
§ 91.
Der Grad des Kreiskörpers der
-ten Einheitswurzeln und die Zerlegung der Primzahl
in diesem Körper.
Es bedeute
eine ungerade rationale Primzahl, und es sei
. Die Gleichung
-ten Grades
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besitzt die
Wurzeln
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Diese Zahlen heißen die
-ten Einheitswurzeln. Der durch sie bestimmte Körper werde mit
bezeichnet und der Kreiskörper der
-ten Einheitswurzeln genannt. Es gilt für ihn zunächst die folgende Tatsache:
Satz 117. Bedeutet
eine ungerade Primzahl, so besitzt der durch
bestimmte Kreiskörper
der
-ten Einheitswurzeln den Grad
. Die Primzahl
gestattet in
die Zerlegung
, wo
ein Primideal ersten Grades in
ist.
Beweis. Die Zahl
genügt der Gleichung
-ten Grades
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also ist der Körper
höchstens vom Grade
. Da
,
, …,
die
Wurzeln dieser Gleichung
sind, so gilt identisch in
die Gleichung:
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für
folgt hieraus:
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(31)
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Es bedeute nun
eine beliebige durch
nicht teilbare ganze rationale Zahl
‚ und es sei dann
eine positive ganze rationale Zahl von der Art, daß
nach
ausfällt. Dann sind die Quotienten
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und
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