daß eine jede ganze Zahl
des Körpers
in der Gestalt
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(33)
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mit ganzen rationalen Koeffizienten
,
, …,
dargestellt werden kann.
Dabei müssen dann die Zahlen
,
, …,
notwendig sämtlich durch den Nenner
teilbar sein. Um zunächst zu zeigen, daß sie ein erstes Mal durch
teilbar sind, nehmen wir an, es fände sich unter ihnen etwa
als erster nicht durch
teilbarer Koeffizient; aus
nach
würde dann in Anbetracht von
notwendig
nach
, d. h.
nach
und also auch nach l folgen, was der Annahme widerspricht. Man kann mithin einen Faktor
in Zähler und Nenner des Ausdruckes (33) fortheben. Durch die geeignete Weiterführung des eben angewandten Verfahrens folgt schließlich, daß jede ganze Zahl
des Körpers
bei ihren Darstellungen
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mit rationalen Koeffizienten
,
, …,
‚ bzw.
,
, …,
für diese lauter ganze rationale Zahlen bekommt.
Da somit die Potenzen
,
, …,
der Zahl
eine Basis des Körpers
bilden, so folgt, daß die Diskriminante
der Zahl
zugleich auch die Diskriminante des Körpers
vorstellt.
§ 93.
Die Zerlegung der von
verschiedenen rationalen Primzahlen im Kreiskörper der
-ten Einheitswurzeln.
Die Zerlegung der Primzahl
im Körper
ist in Satz 117 ausgeführt. Für die Zerlegungen der übrigen rationalen Primzahlen im Körper
gilt die folgende Regel:
Satz 119. Ist
eine von
verschiedene rationale Primzahl und
der kleinste positive Exponent, für welchen
nach
ausfällt, und wird dann
gesetzt, so findet im Kreiskörper
die Zerlegung
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statt, wo
, …,
voneinander verschiedene Primideale
-ten Grades in
sind [Kummer (5, 6)].
Beweis. Es sei
eine beliebige ganze Zahl des Kreiskörpers
; dann folgen die Kongruenzen
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Ist nun
ein in
aufgehendes Primideal, so folgt aus der eben erhaltenen Kongruenz
nach
um so mehr
nach
, d. h. die Kongruenz
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(34)
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