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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.21

daß eine jede ganze Zahl $\alpha$ des Körpers $k(\zeta )$ in der Gestalt

$\alpha ={\frac {a_{0}+a_{1}\lambda +\cdots +a_{l-2}\lambda ^{l-2}}{l^{l-2}}}$

(33)

mit ganzen rationalen Koeffizienten $a_{0}$, $a_{1}$, …, $a_{l-2}$ dargestellt werden kann.

Dabei müssen dann die Zahlen $a_{0}$, $a_{1}$, …, $a_{l-2}$ notwendig sämtlich durch den Nenner $l^{l-2}$ teilbar sein. Um zunächst zu zeigen, daß sie ein erstes Mal durch $l$ teilbar sind, nehmen wir an, es fände sich unter ihnen etwa $a_{g}$ als erster nicht durch $l$ teilbarer Koeffizient; aus $l^{l-2}\alpha \equiv 0$ nach $l$ würde dann in Anbetracht von $l={\mathfrak {l}}^{l-1}$ notwendig $a_{g}\lambda ^{g}\equiv 0$ nach ${\mathfrak {l}}^{g+1}$, d. h. $a_{g}\equiv 0$ nach ${\mathfrak {l}}$ und also auch nach l folgen, was der Annahme widerspricht. Man kann mithin einen Faktor $l$ in Zähler und Nenner des Ausdruckes (33) fortheben. Durch die geeignete Weiterführung des eben angewandten Verfahrens folgt schließlich, daß jede ganze Zahl $\alpha$ des Körpers $k(\zeta )$ bei ihren Darstellungen

$\alpha =a_{0}+a_{1}\lambda +\cdots +a_{l-2}\lambda ^{l-2}=b_{0}+b_{1}\zeta +\cdots +b_{l-2}\zeta ^{l-2}$

mit rationalen Koeffizienten $a_{0}$, $a_{1}$, …, $a_{l-2}$‚ bzw. $b_{0}$, $b_{1}$, …, $b_{l-2}$ für diese lauter ganze rationale Zahlen bekommt.

Da somit die Potenzen $1$, $\zeta$, …, $\zeta ^{l-2}$ der Zahl $\zeta$ eine Basis des Körpers $k(\zeta )$ bilden, so folgt, daß die Diskriminante $d(\zeta )$ der Zahl $\zeta$ zugleich auch die Diskriminante des Körpers $k(\zeta )$ vorstellt.

§ 93. Die Zerlegung der von $l$ verschiedenen rationalen Primzahlen im Kreiskörper der $l$-ten Einheitswurzeln.

Die Zerlegung der Primzahl $l$ im Körper $k(\zeta )$ ist in Satz 117 ausgeführt. Für die Zerlegungen der übrigen rationalen Primzahlen im Körper $k(\zeta )$ gilt die folgende Regel:

Satz 119. Ist $p$ eine von $l$ verschiedene rationale Primzahl und $f$ der kleinste positive Exponent, für welchen $p^{f}\equiv 1$ nach $l$ ausfällt, und wird dann $l-1=ef$ gesetzt, so findet im Kreiskörper $k(\zeta )$ die Zerlegung

$p={\mathfrak {p}}_{1}\dots {\mathfrak {p}}_{e}$

statt, wo ${\mathfrak {p}}_{1}$, …, ${\mathfrak {p}}_{e}$ voneinander verschiedene Primideale $f$-ten Grades in $k(\zeta )$ sind [Kummer (5, 6)].

Beweis. Es sei $\alpha =a+a_{1}\zeta +\cdots +a_{l-2}\zeta ^{l-2}$ eine beliebige ganze Zahl des Kreiskörpers $k(\zeta )$; dann folgen die Kongruenzen

${\begin{aligned}\alpha ^{p}&\equiv \left(a+a_{1}\zeta \right.\left.+\cdots +a_{l-2}\zeta ^{l-2}\right)^{p}&&\equiv a+a_{1}\zeta ^{p}+\cdots +a_{l-2}\zeta ^{p(l-2)},&(p)\\\alpha ^{p^{2}}&\equiv \left(a+\alpha _{1}\zeta ^{p}\right.\left.+\cdots +a_{l-2}\zeta ^{p(l-2)}\right)^{p}&&\equiv a+\alpha _{1}\zeta ^{p^{2}}+\cdots +a_{l-2}\zeta ^{p^{2}(l-2)},&(p)\\\\&&&\vdots \\\alpha ^{p^{f}}&\equiv \left(a+a_{1}\zeta ^{p^{f-1}}\right.\left.+\cdots +a_{l-2}\zeta ^{p^{f-1}(l-2)}\right)^{p}&&\equiv a+a_{1}\zeta ^{p^{f}}+\cdots +a_{l-2}\zeta ^{p^{f}(l-2)}\equiv \alpha ,&(p).\end{aligned}}$

Ist nun ${\mathfrak {p}}$ ein in $p$ aufgehendes Primideal, so folgt aus der eben erhaltenen Kongruenz $\alpha ^{p^{f}}\equiv \alpha$ nach $p$ um so mehr $\alpha ^{p^{f}}\equiv \alpha$ nach ${\mathfrak {p}}$, d. h. die Kongruenz

$\xi ^{p^{f}}-\xi \equiv 0,\qquad ({\mathfrak {p}})$

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Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 197. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/214&oldid=- (Version vom 31.7.2018)