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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.18

immer dann mit dem ursprünglichen Äquivalenzbegriffe zusammenfällt, wenn für den Körper die Norm der Grundeinheit $n(\varepsilon )=-1$ ist. Wenn aber $k$ reell ist und $n(\varepsilon )=+1$ aufweist, so löst sich eine Idealklasse im Sinne der früheren Einteilung bei der neuen Einteilung regelmäßig in zwei Klassen auf; insbesondere entstehen aus der früheren Klasse der Hauptideale die zwei durch das Hauptideal (1) und durch das Hauptideal $({\sqrt {m}})$ vertretenen Klassen der neuen Einteilung. Bezeichnet $h'$ die Anzahl der Idealklassen bei Benutzung des engeren Äquivalenzbegriffes, so ist daher unter den gegenwärtig angenommenen Umständen $h'=2h$ [Dedekind (1^[1])].

§ 84. Der Fundamentalsatz für den neuen Klassen- und Geschlechtsbegriff.

Dem neuen Klassenbegriff entspricht ein neuer Geschlechtsbegriff: das Geschlecht eines Ideals ${\mathfrak {j}}$ im Körper $k({\sqrt {m}})$ soll nämlich nunmehr in allen Fällen gleichmäßig durch die $t$ Einheiten

$\left({\frac {+n({\mathfrak {j}}),\,m}{l_{1}}}\right)$, …, $\left({\frac {+n({\mathfrak {j}}),\,m}{l_{t}}}\right)$

charakterisiert werden, wo die Norm von ${\mathfrak {j}}$ im Unterschiede von der früheren Festsetzung stets das positive Vorzeichen erhält. Für einen imaginären Körper $k$ stimmt dieser neue Geschlechtsbegriff mit dem alten völlig überein. Das Gleiche gilt für einen reellen Körper $k$, falls das Charakterensystem der Zahl $-1$ in $k$ aus lauter positiven Einheiten besteht. Der letztere Umstand muß offenbar immer eintreten, wenn für $k$ die Norm der Grundeinheit $=-1$ ist. Nun sei $k$ reell und für $k$ die Norm der Grundeinheit $=+1$, so sind zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem das Charakterensystem der Zahl $-1$ in $k$ aus lauter positiven Einheiten besteht oder nicht.

Im ersteren Falle gehören die Ideale ($1$) und ${\mathfrak {a}}=({\sqrt {m}})$ beide zum nämlichen Geschlechte, da sich

$\left({\frac {n({\mathfrak {a}}),\,m}{l_{i}}}\right)=\left({\frac {+m,\,m}{l_{i}}}\right)=\left({\frac {+m,\,m}{l_{i}}}\right)\left({\frac {-1,\,m}{l_{i}}}\right)=\left({\frac {-m,\,m}{l_{i}}}\right)=+1$

für $i=1$, …, $t$ ergibt. Die neuen Geschlechter umfassen also die nämlichen Ideale wie die alten, und die Zahl der Geschlechter ist wiederum $=2^{t-1}$.

Im zweiten Falle gehören die beiden Idealklassen, welche durch das Ideal ($1$) und durch das Ideal ${\mathfrak {a}}=({\sqrt {m}})$ repräsentiert werden, zu verschiedenen der neuen Geschlechter. Die Anzahl der neuen Geschlechter ist doppelt so groß, als die der alten; nun war für diesen Fall die Anzahl der Einzelcharaktere bei Zugrundelegung des ursprünglichen Geschlechtsbegriffs nur $=t-1$ und die Anzahl der alten Geschlechter daher $=2^{t-2}$; es ergibt sich somit die Anzahl der neuen Geschlechter, ebenso wie im ersten Falle, $=2^{t-1}$. Da ferner in jedem Falle das Produkt

$\left({\frac {-1,\,m}{l_{1}}}\right)\cdots \left({\frac {-1,\,m}{l_{t}}}\right)=+1$

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1. Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.^{[WS 1]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Dedekind, Richard: Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 4. Auflage, Braunschweig, 1894, Internet Archive

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 187. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/204&oldid=- (Version vom 5.8.2016)