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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.18

Im zweiten Falle sei unter den Primzahlen $l_{1}$, …, $l_{t}$ etwa $l_{z}$, die Primzahl $2$. Ist dann $c_{z}=+1$, so legen wir die Forderungen

$\left({\frac {-1}{p}}\right)=+1,\left({\frac {l_{i}}{p}}\right)=c_{i}$ $(i=i_{1},\ldots ,z-1,z+1,\ldots ,t)$

zugrunde, und es folgt nach Satz 111, daß es unendlich viele diesen Gleichungen genügende Primzahlen $p$ gibt. Wegen der ersten Gleichung wird $\left({\frac {p,m}{2}}\right)=+1=c_{z}$ und überdies $\left({\frac {p,m}{l_{i}}}\right)=\left({\frac {p}{l_{i}}}\right)=\left({\frac {l_{i}}{p}}\right)=c_{i}$ für $i=1$, …, $z-1$‚ $z+1$, …‚ $t$. Ist dagegen $c_{z}=-1$‚ so fordern wir:

$\left({\frac {-1}{p}}\right)=-1,\left({\frac {l_{i}}{p}}\right)=(-1)^{\frac {l_{i}-1}{2}}c_{i},$ $(i=1,\ldots ,z-1,z+1,\ldots ,t)$

und die unendlich vielen, diesen Gleichungen genügenden Primzahlen $p$ erfüllen zugleich die Bedingungen:

$\left({\frac {p,m}{2}}\right)=-1=c_{z}$  und  $\left({\frac {p,m}{l_{i}}}\right)=\left({\frac {p}{l_{i}}}\right)=(-1)^{\frac {l_{i}-1}{2}}\left({\frac {l_{i}}{p}}\right)=c_{i}$

für $i=1$‚ ...‚ $z-1$, $z+1$, ...‚ $t$.

Im dritten Falle endlich suchen wir wieder $l_{z}=2$ heraus. Wir stellen die Forderungen:

$\left({\frac {-1}{p}}\right)=+1,\left({\frac {2}{p}}\right)=c_{z},\left({\frac {l_{i}}{p}}\right)=c_{i}$, $(i=1,\ldots ,z-1,z+1,\ldots ,t)$;

es existieren nach Satz 111 unendlich viele Primzahlen $p$, welche ihnen genügen, und für welche dann

$\left({\frac {p,m}{2}}\right)=(-1)^{{\frac {p^{2}-1}{8}}+{\frac {p-1}{2}}{\frac {{\frac {m}{2}}-1}{2}}}=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}=\left({\frac {2}{p}}\right)=c_{z}$

und überdies $\left({\frac {p,m}{l_{i}}}\right)=\left({\frac {p}{l_{i}}}\right)=\left({\frac {l_{i}}{p}}\right)=c_{i}$ für $i=1$, …‚$z-1$‚ $z+1$‚ …‚ $t$ wird.

Es bedeute nun $p$ eine beliebige solche rationale Primzahl, daß

$\left({\frac {p,m}{l_{1}}}\right)=c_{1},\ldots ,\left({\frac {p,m}{l_{t}}}\right)=c_{t}$

gilt. Nach Hilfssatz 14 ist dann

$\prod _{(w)}\left({\frac {p,m}{w}}\right)=\left({\frac {p,m}{p}}\right)\left({\frac {p,m}{l_{1}}}\right)\cdots \left({\frac {p,m}{l_{t}}}\right)=+1,$

und folglich

$\left({\frac {m}{p}}\right)c_{1}\cdots c_{t}=\left({\frac {m}{p}}\right)=+1$;

also findet man $p$ im Körper $k$ in das Produkt zweier Primideale ${\mathfrak {p}}$ und ${\mathfrak {p}}'$ zerlegbar. Jedes dieser Primideale ${\mathfrak {p}}$ und ${\mathfrak {p}}'$ erfüllt die Bedingungen des zu beweisenden Satzes 112.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 185. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/202&oldid=- (Version vom 31.7.2018)