Im zweiten Falle sei unter den Primzahlen
, …,
etwa
, die Primzahl
. Ist dann
, so legen wir die Forderungen
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zugrunde, und es folgt nach Satz 111, daß es unendlich viele diesen Gleichungen genügende Primzahlen
gibt. Wegen der ersten Gleichung wird
und überdies
für
, …,
‚
, …‚
. Ist dagegen
‚ so fordern wir:
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und die unendlich vielen, diesen Gleichungen genügenden Primzahlen
erfüllen zugleich die Bedingungen:
und
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für
‚ ...‚
,
, ...‚
.
Im dritten Falle endlich suchen wir wieder
heraus. Wir stellen die Forderungen:
, ;
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es existieren nach Satz 111 unendlich viele Primzahlen
, welche ihnen genügen, und für welche dann
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und überdies
für
, …‚
‚
‚ …‚
wird.
Es bedeute nun
eine beliebige solche rationale Primzahl, daß
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gilt. Nach Hilfssatz 14 ist dann
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und folglich
;
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also findet man
im Körper
in das Produkt zweier Primideale
und
zerlegbar. Jedes dieser Primideale
und
erfüllt die Bedingungen des zu beweisenden Satzes 112.