Grenzen wachsen. Sehen wir von den Gliedern ab, die den in
aufgehenden Primzahlen
entsprechen und die nur in endlicher Anzahl vorhanden sind, so ist im übrigen die Summe (28) gleich
, wo
nur alle diejenigen Primzahlen
durchläuft, für welche die im Satze 111 verlangten Bedingungen sämtlich erfüllt sind. Da mithin auch diese letzte Summe für
über alle Grenzen wächst, so folgt, daß jene Primzahlen
in unendlicher Anzahl vorhanden sein müssen. Damit ist Satz 111 bewiesen.
§ 81. Das Vorhandensein unendlich vieler Primideale mit vorgeschriebenen Charakteren in einem quadratischen Körper.
Satz 112. Sind
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die
Einzelcharaktere, welche das Geschlecht eines Ideals
in
bestimmen, und bedeuten
, …,
beliebig angenommene, der Bedingung
genügende
Einheiten
‚ so gibt es stets unendlich viele Primideale
im Körper
, für welche
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ist.
Beweis. In der Diskriminante
des Körpers seien die
rationalen Primzahlen
, …,
, enthalten. Es ist
oder
; in letzterem Falle sei
‚ und die Bedingung
diene zur Bestimmung des Vorzeichens in
. Zugleich schreiben wir in diesem Falle
. Wir beweisen nun zunächst, daß es unendlich viele rationale Primzahlen
gibt, für welche
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ist, und unterscheiden zu dem Zweck drei Fälle, je nachdem
,
, oder
nach
ist.
Im ersten Falle gehen wir von den Forderungen
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aus. Nach Satz 111 gibt es unendlich viele Primzahlen
, welche diesen Gleichungen genügen. Da die erste Gleichung auf
nach
hinauskommt, so wird für diese Primzahlen
dann
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für
gelten.