Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/199

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.18

wo die beiden Produkte rechter Hand über alle rationalen Primzahlen $p$ zu erstrecken sind. Wegen

${\underset {s=1}{L}}\left\{(s-1)\prod _{(p)}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\right\}={\underset {s=1}{L}}\left\{(s-1)\sum _{(n)}{\frac {1}{n^{s}}}\right\}=1$,

wo $n$ alle positiven ganzen rationalen Zahlen durchläuft, wird dann:

${\underset {s=1}{L}}\left\{(s-1)\zeta (s)\right\}={\underset {s=1}{L}}\prod _{(p)}{\frac {1}{1-\left({\frac {d}{p}}\right)p^{-s}}}$.

Die Richtigkeit unseres Satzes 109 folgt nun aus Satz 56, wenn wir den Wert von $\varkappa$ nach § 25 aufstellen. Zur Ermittelung von $w$ ist zu berücksichtigen, daß der Körper $k({\sqrt {-3}})$ die $6$ Einheitswurzeln $\pm 1$, $\pm {\frac {1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}$‚ der Körper $k({\sqrt {-1}})$ die 4 Einheitswurzeln $\pm 1$, $\pm i$, dagegen ein jeder andere imaginäre quadratische Körper $k$ nur die beiden Einheitswurzeln $\pm 1$ enthält (vgl. § 62).

Die wichtigste Folgerung der eben bewiesenen Tatsache ist der Satz:

Satz 110. Bedeutet a eine beliebige ganze rationale positive oder negative Zahl, nur nicht eine Quadratzahl, so ist der Grenzwert

${\underset {s=1}{L}}\prod _{(p)}{\frac {1}{1-\left({\frac {a}{p}}\right)p^{-s}}}$

stets eine endliche und von $0$ verschiedene Größe [Dirichlet (8^[1], 9^[2])].

Beweis. Es sei $a=b^{2}m$, wo $b_{2}$ die größte in $a$ aufgehende Quadratzahl sein soll; es sei ferner $d$ die Diskriminante des durch ${\sqrt {a}}$ bestimmten quadratischen Körpers. Dann folgt für jede ungerade und nicht in $b$ aufgehende rationale Primzahl $p$ gewiß die Gleichung $\left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {d}{p}}\right)$. Die beiden unendlichen Produkte

$\prod _{(p)}{\frac {1}{1-\left({\frac {d}{p}}\right)p^{-s}}}$ und $\prod _{(p)}{\frac {1}{1-\left({\frac {a}{p}}\right)p^{-s}}}$

können demnach nur in einer endlichen Anzahl von Faktoren voneinander abweichen. Da das erstere Produkt nach Satz 109 in der Grenze für $s=1$ endlich bleibt, so gilt daher dasselbe auch von dem zweiten Produkt.

§ 80. Das Vorhandensein unendlich vieler rationaler Primzahlen, nach denen gegebene Zahlen vorgeschriebene quadratische Restcharaktere erlangen.

Mit Hilfe des Satzes 110 beweisen wir der Reihe nach folgende Tatsachen: [Dirichlet (9^[2]), Kronecker (10^[3])].

Satz 111. Bedeuten $a_{1}$, $a_{2}$‚ …‚ $a_{t}$ irgend $t$ ganze rationale, positive oder negative Zahlen von der Art, daß keine der $2^{t}-1$ Zahlen

---

1. Sur l’usage des séries infinies dans la théorie des nombres. Werke 1, 357 (1838).
2. Recherches sur diverses applications de l’analyse infinitésimale à la théorie des nombres. Werke 1, 411 (1839)‚ (1840).
3. Über den Gebrauch der Dirichletschen Methoden in der Theorie der quadratischen Formen. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1864.^{[WS 1]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Kronecker, Leopold: Über den Gebrauch der Dirichletschen Methoden in der Theorie der quadratischen Formen, in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1864, S. 285–303 Berlin-Brandenburgische Akademie

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 182. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/199&oldid=- (Version vom 31.7.2018)