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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.18

Zahl des Körpers $k$ bedeutet, ambig, so würde ${\mathfrak {a}}^{1-s}=\alpha \beta ^{1-s}$ folgen, und mithin wäre $\alpha \beta ^{1-s}$ gleich einer Einheit, etwa $=(-1)^{e}\varepsilon ^{f}$, und folglich $n(\alpha )=+1$, was der Konstruktion der Zahl $\alpha$ zuwiderliefe. Darnit ist bewiesen, daß die durch ${\mathfrak {j}}$ bestimmte ambige Klasse kein ambiges Ideal enthält.

Es sei jetzt $A$ eine beliebig gegebene ambige Klasse und ${\mathfrak {j}}$ ein Ideal derselben, so ist ${\mathfrak {j}}^{1-s}$ gleich einer ganzen oder gebrochenen Zahl $\alpha$ des Körpers $k$, und es wird die Norm $n(\alpha )$ entweder $=+1$ oder $=-1$ sein. Der erstere Fall ist der einzig mögliche, wenn der Körper $k$ imaginär ist, oder wenn der Körper $k$ reell ist und wenigstens einer von den Charakteren $\textstyle \left({\frac {-1,\,m}{w}}\right)$ den Wert $-1$ besitzt. Sowie nun $n(\alpha )=+1$ ist, folgt nach Satz 90, daß $\textstyle {\frac {1}{\alpha }}=\beta ^{1-s}$ wird, wo $\beta$ eine ganze Zahl in $k$ bedeutet; dann ist $({\mathfrak {j}}\beta )^{1-s}=1$, d. h. ${\mathfrak {j}}\beta$ gleich dem Produkt eines ambigen Ideals in eine rationale Zahl, und die Klasse $A$ enthält mithin ein ambiges Ideal. Ist andererseits $n(\alpha )=-1$ und zugleich $n(\varepsilon )=-1$, so wird $n(\varepsilon \alpha )=+1$, und wir beweisen wie vorhin, daß die Klasse $A$ ein ambiges Ideal enthält. Daraus ersehen wir, daß jede ambige Klasse ein ambiges Ideal enthält, falls der Körper $k$ imaginär ist, und desgleichen, falls der Körper $k$ reell ist und für ihn entweder einer der Charaktere von $-1$ den Wert $-1$ besitzt oder $n(\varepsilon )=-1$ ausfällt.

Nehmen wir endlich in dem weiteren Falle, daß keiner dieser Umstände zutrifft, an, es gebe in $k$ mehrere ambige Idealklassen, die kein ambiges Ideal enthalten, und wählen aus zweien darunter je ein Ideal, ${\mathfrak {j}}$ und ${\mathfrak {j}}'$, aus, so zeigt die vorhin dargelegte Entwicklung, daß die Normen der beiden Zahlen $\alpha ={\mathfrak {j}}^{1-s}$ und $\alpha '={\mathfrak {j}}^{\prime 1-s}$ notwendig den Wert $-1$ besitzen, und es wird folglich $n\textstyle \left({\frac {\alpha '}{\alpha }}\right)=+1$. Nach Satz 90 ergibt sich hieraus eine Darstellung $n\textstyle {\frac {\alpha '}{\alpha }}=\beta ^{1-s}$ mit Hilfe einer geeigneten ganzen Zahl $\beta$ in $k$. Setzen wir $\textstyle {\frac {{\mathfrak {j}}'\beta }{\mathfrak {j}}}={\mathfrak {ba}}$‚ wo $b$ eine rationale Zahl und ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal ohne ganzen rationalen Faktor $\neq \pm 1$ bedeute, so folgt wegen $\textstyle \left({\frac {{\mathfrak {j}}'\beta }{\mathfrak {j}}}\right)^{1-s}=1$ die Gleichung \mathfrak $a=s{\mathfrak {a}}$‚ d. h. ${\mathfrak {a}}$ ist ein ambiges Ideal; und dabei ist ${\mathfrak {j}}'\sim {\mathfrak {aj}}$. Damit haben wir auch den letzten Teil unseres Satzes 107 bewiesen.

§ 77. Die Anzahl aller ambigen Klassen.

Die Sätze 106 und 107 ermöglichen die Berechnung der Anzahl aller ambigen Klassen.

Satz 108. Es gibt in jedem Falle im Körper $k$ genau $r-1$ voneinander unabhängige ambige Klassen, wo $r$ die Anzahl der Einzelcharaktere bedeutet, die das Geschlecht einer Klasse bestimmen. Die Anzahl der sämtlichen voneinander verschiedenen ambigen Klassen ist daher gleich $2^{r-1}$.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 179. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/196&oldid=- (Version vom 18.8.2016)