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Zahl des Körpers bedeutet, ambig, so würde folgen, und mithin wäre gleich einer Einheit, etwa , und folglich , was der Konstruktion der Zahl zuwiderliefe. Darnit ist bewiesen, daß die durch bestimmte ambige Klasse kein ambiges Ideal enthält.

Es sei jetzt eine beliebig gegebene ambige Klasse und ein Ideal derselben, so ist gleich einer ganzen oder gebrochenen Zahl des Körpers , und es wird die Norm entweder oder sein. Der erstere Fall ist der einzig mögliche, wenn der Körper imaginär ist, oder wenn der Körper reell ist und wenigstens einer von den Charakteren den Wert besitzt. Sowie nun ist, folgt nach Satz 90, daß wird, wo eine ganze Zahl in bedeutet; dann ist , d. h. gleich dem Produkt eines ambigen Ideals in eine rationale Zahl, und die Klasse enthält mithin ein ambiges Ideal. Ist andererseits und zugleich , so wird , und wir beweisen wie vorhin, daß die Klasse ein ambiges Ideal enthält. Daraus ersehen wir, daß jede ambige Klasse ein ambiges Ideal enthält, falls der Körper imaginär ist, und desgleichen, falls der Körper reell ist und für ihn entweder einer der Charaktere von den Wert besitzt oder ausfällt.

Nehmen wir endlich in dem weiteren Falle, daß keiner dieser Umstände zutrifft, an, es gebe in mehrere ambige Idealklassen, die kein ambiges Ideal enthalten, und wählen aus zweien darunter je ein Ideal, und , aus, so zeigt die vorhin dargelegte Entwicklung, daß die Normen der beiden Zahlen und notwendig den Wert besitzen, und es wird folglich . Nach Satz 90 ergibt sich hieraus eine Darstellung mit Hilfe einer geeigneten ganzen Zahl in . Setzen wir ‚ wo eine rationale Zahl und ein Ideal ohne ganzen rationalen Faktor bedeute, so folgt wegen die Gleichung \mathfrak ‚ d. h. ist ein ambiges Ideal; und dabei ist . Damit haben wir auch den letzten Teil unseres Satzes 107 bewiesen.

§ 77. Die Anzahl aller ambigen Klassen.

Die Sätze 106 und 107 ermöglichen die Berechnung der Anzahl aller ambigen Klassen.

Satz 108. Es gibt in jedem Falle im Körper genau voneinander unabhängige ambige Klassen, wo die Anzahl der Einzelcharaktere bedeutet, die das Geschlecht einer Klasse bestimmen. Die Anzahl der sämtlichen voneinander verschiedenen ambigen Klassen ist daher gleich .

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 179. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/196&oldid=- (Version vom 18.8.2016)