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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.18

beliebiges ambiges Hauptideal des Körpers $k$, so ist notwendigerweise $\alpha ^{\prime 1-s}=(-1)^{e}\varepsilon ^{f}$, wo die Exponenten $e$ und $f$ ganze rationale Zahlen bedeuten. Setzen wir $a''=\textstyle {\frac {\alpha '}{\left({\sqrt {m}}\right)^{e}\alpha ^{f}}}$‚ so folgt $\alpha ^{\prime \prime 1-s}=1$, d. h. $\alpha ''$ ist eine rationale Zahl, und danach gibt es außer $1$, ${\sqrt {m}}$ und $\alpha$ nur noch ein ambiges Hauptideal, das durch Befreiung des Produkts ${\sqrt {m}}\cdot \alpha$ von etwaigen ganzen rationalen Faktoren $\neq \pm 1$ entsteht.

Ist andererseits $n(\varepsilon )=-1$, so gibt es kein von $1$ und ${\sqrt {m}}$ verschiedenes ambiges Hauptideal in $k$; denn ist $(\alpha )$ ein beliebiges ambiges Hauptideal in $k$, so gilt notwendigerweise eine Gleichung $\alpha ^{1-s}=(-1)^{e}\varepsilon ^{f}$ mit ganzen rationalen $e$, $f$; wegen $n(\alpha ^{1-s})=+1$ ergibt sich $(n(\varepsilon ))^{f}=+1$, d. h. $f$ ist eine gerade Zahl. Setzen wir $\alpha '=\textstyle {\frac {\alpha }{\varepsilon ^{\frac {f}{2}}\left({\sqrt {m}}\right)^{e+{\frac {f}{2}}}}}$, so folgt $\alpha ^{\prime 1-s}=+1$, d. h. $\alpha '$ ist eine rationale Zahl.

Wir drücken nun von den $t$ ambigen Primidealen in $k$ ein geeignetes durch ${\sqrt {m}}$ und die $t-1$ übrigen ambigen Primideale und, wenn der Körper $k$ reell und zugleich $n(\varepsilon )=+1$ ausfällt, weiter noch von diesen $t-1$ ambigen Primidealen ein geeignetes durch $\alpha$ und die $t-2$ übrigen dieser Ideale aus. Hierdurch erkennen wir die Richtigkeit des zweiten Teiles des Satzes 106.

§ 76. Die ambigen Idealklassen, welche kein ambiges Ideal enthalten.

Es gilt die folgende Tatsache:

Satz 107. Es gibt im quadratischen Körper $k$ dann und nur dann eine ambige Klasse, welche kein ambiges Ideal enthält, wenn der Körper $k$ reell ist, das Charakterensystem von $-1$ in ihm aus lauter positiven Einheiten besteht und endlich die Norm der Grundeinheit gleich $+1$ ausfällt. Sind diese Bedingungen erfüllt, so entstehen alle überhaupt vorhandenen Klassen von jener Beschaffenheit dadurch, daß man eine beliebige unter ihnen der Reihe nach mit allen aus den ambigen Idealen entspringenden Klassen multipliziert.

Beweis. Wenn der Körper $k$ reell ist und das Charakterensystem von $-1$ in ihm aus lauter positiven Einheiten besteht, so gibt es nach Satz 102 in $k$ stets eine ganze oder gebrochene Zahl $\alpha$, deren Norm $=-1$ wird. Ist ferner die Norm der Grundeinheit $n(\varepsilon )=+1$ , so ist diese Zahl $\alpha$ notwendig eine gebrochene. Setzen wir $\alpha ={\frac {\mathfrak {j}}{{\mathfrak {j}}'}}$, wo ${\mathfrak {j}}$ und ${\mathfrak {j}}'$ zueinander prime Ideale sein sollen, so wird $\textstyle {\frac {{\mathfrak {j}}\cdot s{\mathfrak {j}}}{{\mathfrak {j}}'\cdot s{\mathfrak {j}}'}}=1$, und hieraus folgt ${\mathfrak {j}}'=s{\mathfrak {j}}$, also ${\mathfrak {j}}\sim s{\mathfrak {j}}$, und ${\mathfrak {j}}$ bestimmt folglich eine ambige Klasse. Diese ambige Klasse enthält kein ambiges Ideal. Wäre nämlich ein Ideal ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {j}}\beta$, wo $\beta$ eine ganze oder gebrochene

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 178. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/195&oldid=- (Version vom 31.7.2018)