Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/194

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.18

§ 75. Die durch ambige Ideale bestimmten ambigen Idealklassen.

Es entsteht nun die Aufgabe, alle ambigen Klassen in $k$ aufzustellen. Da offenbar ein jedes ambige Ideal ${\mathfrak {a}}$ vermöge seiner Eigenschaft ${\mathfrak {a}}=s{\mathfrak {a}}$ eine ambige Klasse bestimmt, so haben wir vor allem zu untersuchen, wie viele voneinander verschiedene ambige Klassen aus den $2^{t}$ ambigen Idealen entspringen. Wir bezeichnen allgemein irgend welche vorgelegte Idealklassen als voneinander unabhängige Idealklassen, wenn keine darunter die Klasse 1 ist und auch keine gleich einem Produkte von Potenzen der übrigen dieser Klassen gesetzt werden kann. Wir sprechen dann folgende Tatsache aus:

Satz 106. Die $t$ ambigen Primideale bestimmen im Falle eines imaginären Körpers stets $t-1$ voneinander unabhängige ambige Klassen; im Falle eines reellen Körpers bestimmen sie $t-2$ oder $t-1$ voneinander unabhängige ambige Klassen, je nachdem die Norm der Grundeinheit $\varepsilon$ des Körpers $n(\varepsilon )=+1$ oder $=-1$ ist. Die sämtlichen $2^{t}$ ambigen Ideale bestimmen im Falle eines imaginären Körpers $2^{t-1}$ und im Falle eines reellen Körpers, entsprechend der eben gemachten Unterscheidung, $2^{t-2}$ bez. $2^{t-1}$ voneinander verschiedene ambige Klassen.

Beweis. Das Produkt aus sämtlichen in $m$ aufgehenden Primidealen ist gleich ${\sqrt {m}}$ und mithin ein Hauptideal in $k$. Ist zunächst $m$ negativ, jedoch von $-1$ und $-3$ verschieden, und $(\alpha )$ ein ambiges Hauptideal in $k$, so muß $\alpha ^{1-s}$ als Einheit notwendig $=(-1)^{e}$ sein, wo $e$ die Werte $0$ oder $1$ haben kann; hieraus folgt:

$\left\{\alpha \left({\sqrt {m}}\right)^{e}\right\}^{1-s}=1$ oder $\alpha \left({\sqrt {m}}\right)^{e}=s\left\{\alpha \left({\sqrt {m}}\right)^{e}\right\}$,

d. h. $\alpha \left({\sqrt {m}}\right)^{e}$ ist dann eine ganze rationale Zahl. Damit ist bewiesen, daß in einem imaginären Körper $k\left({\sqrt {m}}\right)$ – von $k\left({\sqrt {-1}}\right)$ und $k\left({\sqrt {-3}}\right)$ abgesehen – gewiß außer $1$ und ${\sqrt {m}}$ kein ambiges Hauptideal vorhanden ist. Die beiden hier zunächst ausgeschlossenen Fälle erledigen sich unmittelbar im Sinne des zu beweisenden Satzes 106.

Bei der Entscheidung der fraglichen Verhältnisse für einen reellen Körper $k$ kommt es darauf an, ob die Norm der Grundeinheit $\varepsilon$ des Körpers gleich $+1$ oder $-1$ ausfällt.

Ist nämlich $n(\varepsilon )=+1$, so kann man nach Satz 90 die Formel $\varepsilon =\alpha ^{1-s}$ durch eine ganze Zahl $\alpha$ in $k$ befriedigen und noch $\alpha$ ohne rationalen Faktor $\neq \pm 1$ voraussetzen. Wegen $\alpha =\varepsilon \cdot s\alpha$ ist dann $(\alpha )$ ein ambiges Hauptideal. Dieses Hauptideal $(\alpha )$ ist von $1$ und von ${\sqrt {m}}$ verschieden; denn wäre $\alpha =\pm \varepsilon ^{f}$ oder $=\pm \varepsilon ^{f}{\sqrt {m}}$, wo der Exponent $f$ eine ganze rationale Zahl bedeutet, so würde

$\alpha ^{1-s}=(-1)^{e}\varepsilon ^{(1-s)f}=(-1)^{e}\varepsilon ^{2f}$ ($e=0$ bzw. $1$)

folgen; letzterer Ausdruck aber ist stets von $\varepsilon$ verschieden. Ist ferner $\alpha '$ ein

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 177. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/194&oldid=- (Version vom 31.7.2018)