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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.18

der Norm einer ganzen oder gebrochenen Zahl $\alpha$ im Körper $k$. Dabei kann $\alpha$ so gewählt werden, daß es eine zu $Nd$ prime ganze rationale Zahl $r$ gibt, so daß $\alpha r$ ganz wird. Das Ideal $r\alpha {\mathfrak {h}}'=r\alpha \beta {\mathfrak {h}}$ besitzt die Basiszahlen

${\begin{aligned}r\alpha \beta \eta _{1}=a_{11}\omega _{1}+a_{12}\omega _{2},\\r\alpha \beta \eta _{2}=a_{21}\omega _{1}+a_{22}\omega _{2},\end{aligned}}$

wo $a_{11}$, $a_{12}$, $a_{21}$, $a_{22}$ ganze rationale Zahlen bedeuten. Wegen $n(\alpha {\mathfrak {h}}')={\overline {n}}^{2}$ ist die Determinante $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=\pm r^{2}{\overline {n}}^{2}$ und daher besitzen die vier Zahlen $r_{11}=\textstyle {\frac {a_{11}}{r{\overline {n}}}}$, $r_{12}=\textstyle {\frac {a_{12}}{r{\overline {n}}}}$, $r_{21}=\textstyle {\frac {a_{21}}{r{\overline {n}}}}$, $r_{22}=\textstyle {\frac {a_{22}}{r{\overline {n}}}}$, die im Satze behauptete Eigenschaft.

§ 73. Die ambigen Ideale.

Im quadratischen Körper $k$ werde ein Ideal ${\mathfrak {a}}$ ein ambiges Ideal genannt, wenn es nach Anwendung der Operation $s=\left({\sqrt {m}}\,:\,-{\sqrt {m}}\right)$ ungeändert bleibt, und wenn es außerdem keine ganze rationale Zahl $\neq \pm 1$ als Faktor enthält. (Vgl. § 57.) Es gilt die Tatsache:

Satz 105. Die $t$ in der Diskriminante $d$ des Körpers $k$ aufgehenden, voneinander verschiedenen Primideale ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{t}$, und nur diese, sind ambige Primideale in $k$. Die $2^{t}$ Ideale $1$, ${\mathfrak {l}}_{1}$, ${\mathfrak {l}}_{2}$, …, ${\mathfrak {l}}_{1}{\mathfrak {l}}_{2}$, …, ${\mathfrak {l}}_{1}{\mathfrak {l}}_{2}$ … ${\mathfrak {l}}_{t}$ machen die Gesamtheit aller ambigen Ideale des Körpers $k$ aus.

Beweis. Daß die Primideale ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{t}$, und nur diese, ambig sind, folgt aus Satz 96. Ist nun ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {pq\ldots r}}$ ein beliebiges, in Primideale zerlegtes ambiges Ideal, so müssen wegen ${\mathfrak {a}}=s{\mathfrak {a}}$ die zu den Primidealen ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {q}}$, …,${\mathfrak {r}}$ konjugierten Primideale $s{\mathfrak {p}}$, $s{\mathfrak {q}}$, …,$s{\mathfrak {r}}$, von der Reihenfolge abgesehen, mit ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {q}}$, …,${\mathfrak {r}}$ übereinstimmen. Wenn etwa $s{\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}$ sich herausstellen würde, so besäße ${\mathfrak {a}}$ den Faktor ${\mathfrak {p}}\cdot s{\mathfrak {p}}$, welcher gleich einer ganzen rationalen Zahl ist; da dieser Umstand der Erklärung des ambigen Ideals zuwider wäre, so muß notwendig ${\mathfrak {p}}=s{\mathfrak {p}}$ sein und ebenso ${\mathfrak {q}}=s{\mathfrak {q}}$, …, ${\mathfrak {r}}=s{\mathfrak {r}}$, d. h. die einzelnen Primideale ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {q}}$, …,${\mathfrak {r}}$ sind sämtlich ambig. Da die Quadrate der Ideale ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{t}$ gleich ganzen rationalen Zahlen werden, so schließen wir ebenso, daß die Ideale ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {q}}$, …,${\mathfrak {r}}$ notwendig untereinander verschieden sind; damit ist auch der letzte Teil des Satzes 105 bewiesen.

§ 74. Die ambigen Idealklassen.

Wenn ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal der Klasse $A$ ist, so werde diejenige Idealklasse, der das Ideal $s{\mathfrak {a}}$ angehört, mit $sA$ bezeichnet. Ist insbesondere $A=sA$, so heißt die Idealklasse $A$ eine ambige Idealklasse. Da das Produkt ${\mathfrak {a}}\cdot s{\mathfrak {a}}\sim 1$ ist, so wird $A\cdot sA=1$; und folglich ist das Quadrat einer jeden ambigen Klasse gleich der Hauptklasse 1. Umgekehrt, wenn das Quadrat einer Klasse $A$ gleich $1$ ist, so wird $A=\textstyle {\frac {1}{A}}=sA$, und folglich ist $A$ eine ambige Klasse.

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 176. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/193&oldid=- (Version vom 31.7.2018)