der Norm einer ganzen oder gebrochenen Zahl
im Körper
. Dabei kann
so gewählt werden, daß es eine zu
prime ganze rationale Zahl
gibt, so daß
ganz wird. Das Ideal
besitzt die Basiszahlen
|
|
wo
,
,
,
ganze rationale Zahlen bedeuten. Wegen
ist die Determinante
und daher besitzen die vier
Zahlen
,
,
,
, die im Satze behauptete Eigenschaft.
§ 73. Die ambigen Ideale.
Im quadratischen Körper
werde ein Ideal
ein ambiges Ideal genannt,
wenn es nach Anwendung der Operation
ungeändert bleibt, und wenn es außerdem keine ganze rationale Zahl
als Faktor enthält. (Vgl. § 57.) Es gilt die Tatsache:
Satz 105. Die
in der Diskriminante
des Körpers
aufgehenden, voneinander verschiedenen Primideale
, …,
, und nur diese, sind ambige
Primideale in
. Die
Ideale
,
,
, …,
, …,
…
machen die Gesamtheit aller ambigen Ideale des Körpers
aus.
Beweis. Daß die Primideale
, …,
, und nur diese, ambig sind, folgt aus Satz 96. Ist nun
ein beliebiges, in Primideale zerlegtes ambiges Ideal, so müssen wegen
die zu den Primidealen
,
, …,
konjugierten Primideale
,
, …,
, von der Reihenfolge abgesehen, mit
,
, …,
übereinstimmen. Wenn etwa
sich herausstellen würde,
so besäße
den Faktor
, welcher gleich einer ganzen rationalen Zahl ist; da dieser Umstand der Erklärung des ambigen Ideals zuwider wäre, so muß notwendig
sein und ebenso
, …,
, d. h. die einzelnen Primideale
,
, …,
sind sämtlich ambig. Da die Quadrate der Ideale
, …,
gleich ganzen rationalen Zahlen werden, so schließen wir ebenso, daß die Ideale
,
, …,
notwendig untereinander verschieden sind; damit ist auch der letzte Teil des Satzes 105 bewiesen.
§ 74. Die ambigen Idealklassen.
Wenn
ein Ideal der Klasse
ist, so werde diejenige Idealklasse, der das Ideal
angehört, mit
bezeichnet. Ist insbesondere
, so heißt
die Idealklasse
eine ambige Idealklasse. Da das Produkt
ist, so wird
; und folglich ist das Quadrat einer jeden ambigen Klasse gleich der Hauptklasse 1. Umgekehrt, wenn das Quadrat einer Klasse
gleich
ist, so wird
, und folglich ist
eine ambige Klasse.