Andrerseits ist, wenn mit
bezüglich
die absolut größten Werte bezeichnet werden, welche die Funktionen
|
|
bezüglich
|
|
in dem Intervalle
bis
annehmen:
|
|
und hieraus folgt, wenn zur Abkürzung
|
|
gesetzt wird, die Ungleichung
|
(2)
|
Nun bestimme man eine ganze positive Zahl
, welche erstens durch die ganze Zahl
teilbar ist und für welche zweitens
wird. Es ist dann
infolge der Kongruenz (1) eine nicht durch
teilbare und daher notwendig von
verschiedene ganze Zahl, und da überdies
infolge der Ungleichung (2) absolut genommen kleiner als
wird, so ist die Gleichung
|
|
unmöglich.
Man nehme an, es sei
eine algebraische Zahl und es genüge die Zahl
einer Gleichung
-ten Grades mit ganzzahligen Koefiizienten. Bezeichnen wir dann mit
die übrigen Wurzeln dieser Gleichung, so
muß, da
den Wert
hat, auch der Ausdruck
|
|
den Wert
haben und hierin sind, wie man leicht sieht, die
Exponenten
die Wurzeln einer Gleichung
-ten Grades mit ganzzahligen Koeffizienten. Sind überdies etwa die
Exponenten
von
verschieden, während die übrigen verschwinden, so sind diese
Exponenten
die Wurzeln einer Gleichung
-ten Grades von der Gestalt
|
|
deren Koeffizienten ebenfalls ganze rationale Zahlen sind und in welcher insbesondere der letzte Koeffizient
von
verschieden ist. Der obige Ausdruck erhält dann die Gestalt
|
|
wo
eine ganze positive Zahl ist.