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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 1

1. Über die Transzendenz der Zahlen $e$ und $\pi$.

[Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen S. 113–116 (1893). Mathem. Annalen Bd. 43, S. 216–219 (1893).]

Man nehme an, die Zahl $e$ genüge der Gleichung $n$-ten Grades

$a+a_{1}e+a_{2}e^{2}+\cdots +a_{n}e^{n}=0$,

deren Koeffizienten $a,a_{1},\ldots ,a_{n}$ ganze rationale Zahlen sind.

Wird die linke Seite dieser Gleichung mit dem Integral

$\int \limits _{0}^{\infty }=\int \limits _{0}^{\infty }z^{\varrho }\left[(z-1)(z-2)\cdots (z-n)\right]^{\varrho +1}e^{-z}dz$

multipliziert, wo $\varrho$ eine ganze positive Zahl bedeutet, so entsteht der Ausdruck

$a\int \limits _{0}^{\infty }+a_{1}e\int \limits _{0}^{\infty }+a_{2}e^{2}\int \limits _{0}^{\infty }+\cdots +a_{n}e^{n}\int \limits _{0}^{\infty }$

und dieser Ausdruck zerlegt sich in die Summe der beiden folgenden Ausdrücke:

${\begin{alignedat}{2}P_{1}&=a\int \limits _{0}^{\infty }+&&a_{1}e\int \limits _{1}^{\infty }+a_{2}e^{2}\int \limits _{2}^{\infty }+\cdots +a_{n}e^{n}\int \limits _{n}^{\infty },\\P_{2}&=&&a_{1}e\int \limits _{0}^{1}+a_{2}e^{2}\int \limits _{0}^{2}+\cdots +a_{n}e^{n}\int \limits _{0}^{n}.\end{alignedat}}$

Die Formel

$\int \limits _{0}^{\infty }z^{\varrho }e^{-z}dz=\varrho !$

zeigt, daß das Integral $\int \limits _{0}^{\infty }$ eine ganze rationale durch $\varrho !$ teilbare Zahl ist und ebenso leicht folgt, wenn man bezüglich die Substitutionen $z=z'+1,z=z'+2,\ldots ,z=z'+n$ anwendet, daß $e\int \limits _{1}^{\infty },e^{2}\int \limits _{2}^{\infty },\ldots ,e^{n}\int \limits _{n}^{\infty }$ ganze rationale durch $(\varrho +1)!$ teilbare Zahlen sind. Daher ist auch $P_{1}$ eine durch $\varrho !$ teilbare ganze Zahl, und zwar gilt, wie man sieht, nach dem Modul $\varrho +1$ die Kongruenz

${\frac {P_{1}}{\varrho !}}\equiv \pm a(n!)^{\varrho +1},\qquad (\varrho +1).$

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Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 1. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/18&oldid=- (Version vom 31.7.2018)