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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.13

Aus diesen Ungleichungen folgt, daß $\log \zeta (s)-\sum \limits _{({\mathfrak {p}}_{1})}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}}_{1})^{s}}}$ sich für $s=1$ einer endlichen Grenze nähert. Nach Satz 56 hat auch der Ausdruck $\log \zeta (s)-\log {\frac {1}{s-1}}$ für $s=1$ einen endlichen Grenzwert, und daher gilt das Nämliche auch von dem Ausdruck

$\sum \limits _{({\mathfrak {p}}_{1})}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}}_{1})^{s}}}-\log {\frac {1}{s-1}}$,

d. h. es ist

${\underset {s=1}{L}}{\frac {\sum \limits _{({\mathfrak {p}}_{1})}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}}_{1})^{s}}}}{\log {\frac {1}{s-1}}}}=1$,

woraus unter Benutzung der Formel (19) die Behauptung folgt.

Für einen Galoisschen Körper $K$ vom $M$-ten Grade ist $\Delta _{1}=0$, $\Delta _{2}=0$, …, $\Delta _{M-1}=0$, und daher folgt aus Satz 83:

Satz 84. In einem Galoisschen Körper $M$-ten Grades besitzen die in lauter Primideale ersten Grades zerfallenden Primzahlen $p_{M}$ eine Dichtigkeit, und diese Dichtigkeit ist $\Delta _{M}={\frac {1}{M}}$.

Ist $k$ ein beliebiger Körper und $K$ derjenige Galoissche Körper $M$-ten Grades, welcher aus $k$ und den zu $k$ konjugierten Körpern $k'$, …, $k^{(m-1)}$ zusammengesetzt ist, so stimmen, wie man leicht erkennt, die Primzahlen $p_{m}$ in $k$ mit den Primzahlen $p_{M}$ in $K$ überein, und daher besitzen die Primzahlen $p_{m}$ in $k$ eine Dichtigkeit, und diese ist gleich ${\frac {1}{M}}$, d. h. gleich dem reziproken Wert des Grades $M$ seiner Galoisschen Resolvente [Kronecker (14^[1])].

13. Die Zusammensetzung der Zahlkörper.

§ 51. Der aus einem Körper und dessen konjugierten Körpern zusammengesetzte Galoissche Körper.

Satz 85. Wird aus den beiden Körpern $k_{1}$ und $k_{2}$ ein Körper $K$ zusammengesetzt, so enthält die Diskriminante des zusammengesetzten Körpers $K$ alle und nur diejenigen rationalen Primzahlen als Faktoren, welche in der Diskriminante von $k_{1}$ oder in derjenigen von $k_{2}$ oder in beiden aufgehen.

Der erste Teil dieses Satzes folgt unmittelbar aus Satz 39; der zweite Teil ergibt sich mit Hilfe von Satz 41 wie folgt:

Seien $\Omega _{1}$, …, $\Omega _{M}$ bez. $\omega _{1}$, …, $\omega _{m}$ eine Basis von $K$ bez. $k_{1}$, dann läßt sich $\omega _{i}$ in der Form

$\omega _{i}=a_{i1}\Omega _{1}+\cdots +a_{iM}\Omega _{M}$

$(i=1,\ \ldots ,\ m)$

mit ganzen rationalen $a_{i1}$, …, $a_{iM}$, darstellen. Sind ferner $\Omega _{1}^{(l)}$, …, $\Omega _{M}^{(l)}$ die

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1. Über die Irreduktibilität von Gleichungen. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1880.^{[WS 1]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Kronecker, Leopold: Über die Irreductibilität von Gleichungen, in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1880, S. 155–162 Berlin-Brandenburgische Akademie

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 144. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/161&oldid=- (Version vom 31.7.2018)