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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.12

existiert, wo die im Zähler stehende Summe über alle Primzahlen $p_{i}$ zu erstrecken ist, so sagen wir: die Primzahlen von der Art $p_{i}$ besitzen eine Dichtigkeit; hat jener Limes den Wert $\Delta _{i}$, so heiße $\Delta _{i}$ die Dichtigkeit der Primzahlen von der Art $p_{i}$. Kronecker macht bei seinen Untersuchungen die unausgesprochene Annahme, daß die Primzahlen von sämtlichen $m$ Arten $p_{1}$, …, $p_{m}$ Dichtigkeiten besitzen. Für den Fall, daß die Gruppe der zur Bestimmung des Körpers $k$ dienenden Gleichungen die symmetrische ist, läßt sich bereits aus den Bemerkungen Kroneckers die Existenz der Dichtigkeiten $\Delta _{1}$, …, $\Delta _{m}$ entnehmen; für einen beliebigen Körper $k$ hat Frobenius die Existenz dieser Dichtigkeiten bewiesen und zugleich ihre Werte bestimmt; sie sind rationale Zahlen, die in einfacher Weise von der Gruppe der den Körper $k$ bestimmenden Gleichungen abhängen [Frobenius (1^[1])]. Es gelingt leicht der Nachweis des folgenden Satzes:

Satz 83. Wenn in einem beliebigen Körper $m$-ten Grades von den Primzahlen der $m$ Arten $p_{1}$, …‚ $p_{m}$ irgend $m-1$ Arten Dichtigkeiten besitzen, so besitzt auch die übrigbleibende Art eine Dichtigkeit, und die $m$ Dichtigkeiten $\Delta _{1}$, …‚ $\Delta _{m}$ erfüllen die Relation:

$\Delta _{1}+2\Delta _{2}+\cdots +m\Delta _{m}=1$.

Beweis: Wenn man die zweite der drei in § 27 angegebenen Darstellungen der Funktionen $\zeta (s)$ benutzt und den Logarithmus bildet, so ergibt sich

$\log \zeta (s)=\sum \limits _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{s}}}+S$,

$S={\frac {1}{2}}\sum \limits _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{2s}}}+{\frac {1}{3}}\sum \limits _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{3s}}}+\cdots$,

wo die Summen über sämtliche Primideale ${\mathfrak {p}}$ des Körpers zu erstrecken sind. Bezeichnen wir nun die Primideale ersten Grades allgemein mit ${\mathfrak {p}}_{1}$, so wird offenbar

$\sum \limits _{({\mathfrak {p}}_{1})}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}}_{1})^{s}}}=\sum \limits _{(p_{1})}{\frac {1}{p_{1}^{s}}}+\sum \limits _{(p_{2})}{\frac {2}{p_{2}^{s}}}+\cdots +\sum \limits _{(p_{m})}{\frac {m}{p_{m}^{s}}}$,

(19)

wo links über alle Primideale ${\mathfrak {p}}_{1}$ und rechts bezüglich über alle rationalen Primzahlen $p_{1}$, $p_{2}$, …, $p_{m}$ zu summieren ist.

Wir berücksichtigen andererseits, daß für alle Primideale ${\mathfrak {p}}$ von höherem als dem ersten Grade $n({\mathfrak {p}})\geqq p^{2}$ ist, und daß eine beliebige Primzahl ${\mathfrak {p}}$ höchstens $m$ Primideale enthält; dadurch ergibt sich:

$\sum \limits _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{s}}}-\sum \limits _{({\mathfrak {p}}_{1})}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}}_{1})^{s}}}\leqq m\sum \limits _{(p)}{\frac {1}{p^{2s}}}<m\sum \limits _{(h)}{\frac {1}{h^{2}}}$,

wo die letzte Summe über alle ganzen rationalen Zahlen $h>1$ zu erstrecken ist. Desgleichen findet man:

$S<m\left\{\sum \limits _{(h)}{\frac {1}{h^{2}}}+\sum \limits _{(h)}{\frac {1}{h^{3}}}+\cdots \right\}=m\sum \limits _{(h)}{\frac {1}{h(h-1)}}=m$.

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1. Über Beziehungen zwischen den Primidealen eines algebraischen Körpers und den Substitutionen seiner Gruppe. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1896.^{[WS 1]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Frobenius, Georg Ferdinand: Über Beziehungen zwischen den Primidealen eines algebraischen Körpers und den Substitutionen seiner Gruppe, in: Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1896, 1. Band, S. 689–703 Berlin-Brandenburgische Akademie

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 143. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/160&oldid=- (Version vom 31.7.2018)