§ 28. Die Zusammensetzung der Idealklassen eines Körpers.
Betreffs der multiplikativen Darstellung der Idealklassen gilt der folgende wichtige Satz (Schering (1[1]), Kronecker (11[2])]:
Satz 57. Es gibt stets
Klassen
, …,
, so daß jede andere Klasse
auf eine und nur auf eine Weise in der Gestalt
darstellbar ist; dabei durchlaufen
, …,
, die ganzen Zahlen
,
,
, … bez. bis
, …,
, und es ist
, …,
und
.
Beweis. Man bilde für jede Klasse
den niedrigsten Exponenten
derart, daß
wird. Der größte aller dieser Exponenten
werde mit
bezeichnet, und es sei
eine hierbei auf
führende Klasse. Nun bestimme man für jede Klasse
den niedrigsten Exponenten
derart, daß
gleich einer Potenz von
wird. Der höchste dieser Exponenten
, werde mit
bezeichnet, und
sei eine auf
führende Klasse. Ferner bestimme man für
jede Klasse
den niedrigsten Exponenten
derart, daß
gleich einem Produkt von Potenzen der Klassen
,
wird; es sei
der höchste dieser Exponenten
und
eine auf
führende Klasse. Fährt man so fort, so entsteht eine Reihe von Klassen
,
, …,
, denen, wie man unmittelbar sieht, die Eigenschaft zukommt, daß eine jede Klasse
auf eine und nur auf eine Weise in der Gestalt
dargestellt werden kann, wo
, …,
, die im Satze 57 angegebenen Werte annehmen.
Es sei nun
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(15)
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wo
ist und
,
‚ …‚
gewisse ganzzahlige Exponenten bedeuten. Aus den gemachten Festsetzungen folgt
, wo
, …,
gewisse ganze Zahlen sind; es muß
durch
teilbar sein, da im anderen Falle bereits eine niedere als die
-te Potenz von
als Produkt der Klassen
,
, …,
darstellbar sein würde. Wird
gesetzt, so folgt, daß
durch ein Produkt der Klassen
, …,
darstellbar ist; es ist daher notwendig
durch
, d. h.
, durch
teilbar. Setzen wir
und wählen an Stelle der Klasse
, die Klasse
, so geht die Gleichung (15) über in die einfachere Gleichung
. Die Fortsetzung dieses Verfahrens führt schließlich zu einer Klasse
, an Stelle von
, für welche die gewünschte Relation
stattfindet.
Die obige Darstellung der Klassen kann überdies so eingerichtet werden, daß die Zahlen
, …,
, Primzahlen oder Primzahlpotenzen sind. Wäre nämlich
eine der Zahlen
, …,
, welche noch nicht Primzahl oder Primzahlpotenz ist, und wäre etwa
…, wo
,
, … Potenzen verschiedener Primzahlen sind, so setze man, wenn
die zu
gehörige Klasse bezeichnet,
,
, …. Wir haben dann
,
, …, und wenn
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- ↑ [360] Zahlentheoretische Bemerkung. Auszug aus einem Brief an Herrn Kronecker. J. Math. 100 (1887).[WS 1]
- ↑ [359] Auseinandersetzung einiger Eigenschaften der Klassenanzahl idealer komplexer Zahlen. Werke 1, 271 (1870).
Anmerkungen (Wikisource)