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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.7

§ 28. Die Zusammensetzung der Idealklassen eines Körpers.

Betreffs der multiplikativen Darstellung der Idealklassen gilt der folgende wichtige Satz (Schering (1^[1]), Kronecker (11^[2])]:

Satz 57. Es gibt stets $q$ Klassen $A_{1}$, …, $A_{q}$, so daß jede andere Klasse $A$ auf eine und nur auf eine Weise in der Gestalt $A=A_{1}^{x_{1}}\ldots A_{q}^{x_{q}}$ darstellbar ist; dabei durchlaufen $x_{1}$, …, $x_{q}$, die ganzen Zahlen $0$, $1$, $2$, … bez. bis $h_{1}-1$, …, $h_{q}-1$, und es ist $A_{1}^{h_{1}}=1$, …, $A_{q}^{h_{q}}=1$ und $h=h_{1}\ldots h_{q}$.

Beweis. Man bilde für jede Klasse $A$ den niedrigsten Exponenten $e_{1}>0$ derart, daß $A^{e_{1}}=1$ wird. Der größte aller dieser Exponenten $e_{1}$ werde mit $h_{1}$ bezeichnet, und es sei $H_{1}$ eine hierbei auf $h_{1}$ führende Klasse. Nun bestimme man für jede Klasse $A$ den niedrigsten Exponenten $e_{2}>0$ derart, daß $A^{e_{2}}$ gleich einer Potenz von $H_{1}$ wird. Der höchste dieser Exponenten $e_{2}$, werde mit $h_{2}$ bezeichnet, und $H_{2}$ sei eine auf $h_{2}$ führende Klasse. Ferner bestimme man für jede Klasse $A$ den niedrigsten Exponenten $e_{3}>0$ derart, daß $A^{e_{3}}$ gleich einem Produkt von Potenzen der Klassen $H_{1}$, $H_{2}$ wird; es sei $h_{3}$ der höchste dieser Exponenten $e_{3}$ und $H_{3}$ eine auf $h_{3}$ führende Klasse. Fährt man so fort, so entsteht eine Reihe von Klassen $H_{1}$, $H_{2}$, …, $H_{q}$, denen, wie man unmittelbar sieht, die Eigenschaft zukommt, daß eine jede Klasse $A$ auf eine und nur auf eine Weise in der Gestalt $A=H_{1}^{x_{1}}\cdots H_{q}^{x_{q}}$ dargestellt werden kann, wo $x_{1}$, …, $x_{q}$, die im Satze 57 angegebenen Werte annehmen.

Es sei nun

$H_{s}^{h_{s}}=H_{t}^{a_{t}}H_{t-1}^{a_{t-1}}\cdots H_{1}^{a_{1}},\qquad (a_{t}\neq 0)$

(15)

wo $t<s$ ist und $a_{t}$, $a_{t-1}$‚ …‚ $a_{1}$ gewisse ganzzahlige Exponenten bedeuten. Aus den gemachten Festsetzungen folgt $H_{s}^{h_{t}}=H_{t-1}^{b_{t-1}}\ldots H_{1}^{b_{1}}$, wo $b_{t-1}$, …, $b_{1}$ gewisse ganze Zahlen sind; es muß $h_{t}$ durch $h_{s}$ teilbar sein, da im anderen Falle bereits eine niedere als die $h_{s}$-te Potenz von $H_{s}$ als Produkt der Klassen $H_{t}$, $H_{t-1}$, …, $H_{1}$ darstellbar sein würde. Wird $h_{t}=h_{s}l_{t}$ gesetzt, so folgt, daß $H_{t}^{a_{t}l_{t}}$ durch ein Produkt der Klassen $H_{t-1}$, …, $H_{1}$ darstellbar ist; es ist daher notwendig $a_{t}l_{t}$ durch $h_{t}$, d. h. $a_{t}$, durch $h_{s}$ teilbar. Setzen wir $a_{t}=h_{s}c_{s}$ und wählen an Stelle der Klasse $H_{s}$, die Klasse $H_{s}'=H_{s}H_{t}^{-c_{s}}$, so geht die Gleichung (15) über in die einfachere Gleichung ${H'_{s}}^{h_{s}}=H_{t-1}^{a_{t-1}}\ldots H_{1}^{a_{1}}$. Die Fortsetzung dieses Verfahrens führt schließlich zu einer Klasse $A_{s}$, an Stelle von $H_{s}$, für welche die gewünschte Relation $A_{s}^{h_{s}}=1$ stattfindet.

Die obige Darstellung der Klassen kann überdies so eingerichtet werden, daß die Zahlen $h_{1}$, …, $h_{q}$, Primzahlen oder Primzahlpotenzen sind. Wäre nämlich $g$ eine der Zahlen $h_{1}$, …, $h_{q}$, welche noch nicht Primzahl oder Primzahlpotenz ist, und wäre etwa $g=p'p''$ …, wo $p'$, $p''$, … Potenzen verschiedener Primzahlen sind, so setze man, wenn $B$ die zu $g$ gehörige Klasse bezeichnet, $B'=B^{\frac {g}{p'}}$, $B''=B^{\frac {g}{p''}}$, …. Wir haben dann $B'^{p'}=1$, $B''^{p''}=1$, …, und wenn

${\frac {1}{g}}={\frac {a'}{p'}}+{\frac {a''}{p''}}+\cdots$

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1. Zahlentheoretische Bemerkung. Auszug aus einem Brief an Herrn Kronecker. J. Math. 100 (1887).^{[WS 1]}
2. Auseinandersetzung einiger Eigenschaften der Klassenanzahl idealer komplexer Zahlen. Werke 1, 271 (1870).

Anmerkungen (Wikisource)

1. Schering, Ernst Christian Julius: Zahlentheoretische Bemerkung. Auszug aus einem Brief an Herrn Kronecker vom 14. Mai 1863)., in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 100 (1887), S. 447–448 GDZ Göttingen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 118. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/135&oldid=- (Version vom 31.7.2018)