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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.7

Satz 55. Ist $T$ die Anzahl aller Ideale des Körpers $k$, deren Normen $\leqq t$ ausfallen, und bedeutet $h$ die Anzahl der Idealklassen, so ist

${\underset {t=\infty }{\mathit {L}}}{\frac {T}{t}}=h\varkappa$.

Aus dieser Formel kann mit Hilfe analytischer Methoden ein fundamentaler Ausdruck für die Klassenenzahl $h$ abgeleitet werden. Es ergibt sich nämlich folgende Tatsache:

Satz 56. Die unendliche Reihe

$\zeta (s)=\sum \limits _{({\mathfrak {j}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {j}})^{s}}}$,

in welcher ${\mathfrak {j}}$ alle Ideale des Körpers durchläuft, konvergiert für reelle Werte von $s>1$, und es ist

${\underset {s=1}{\mathit {L}}}\{(s-1)\zeta (s)\}=h\varkappa$.

[Dedekind (1^[1])].

Beweis. Bezeichnen wir mit $F(n)$ die Anzahl der verschiedenen Ideale mit der Norm $n$, so ist offenbar, wenn $T$ die in Satz 55 angegebene Bedeutung hat,

${\underset {t=\infty }{\mathit {L}}}{\frac {T}{t}}={\underset {n=\infty }{\mathit {L}}}{\frac {F(1)+F(2)+\cdots +F(n)}{n}}$.

Der Limes rechter Hand kann nun, wie folgt, als Grenzwert einer unendlichen Reihe dargestellt werden [Dirichlet (15^[2])]. Wir ordnen die sämtlichen Ideale ${\mathfrak {j}}$ des Körpers nach der Größe ihrer Normen, schreiben die entstehende Reihe ${\mathfrak {j}}_{1}$‚ ${\mathfrak {j}}_{2}$, …, ${\mathfrak {j}}_{t}$, … und bezeichnen allgemein die Norm von ${\mathfrak {j}}_{t}$ mit $n_{t}$, dann ist

$F(1)+\cdots +F(n_{t}-1)<t\leqq F(1)+\cdots +F(n_{t})$

oder

${\frac {F(1)+\cdots +F(n_{t}-1)}{n_{t}-1}}\left(1-{\frac {1}{n_{t}}}\right)<{\frac {t}{n_{t}}}\leqq {\frac {F(1)+\cdots +F(n_{t})}{n_{t}}}$,

und hieraus folgt nach Satz 55: ${\underset {t=\infty }{\mathit {L}}}{\frac {t}{n_{t}}}=h\varkappa$, d. h.: wie klein auch die positive Größe $\delta$ gegeben sein mag, es ist stets möglich, die ganze Zahl $t$ so groß zu wählen, daß die Ungleichungen

${\frac {h\varkappa -\delta }{t'}}<{\frac {1}{n_{t'}}}<{\frac {h\varkappa +\delta }{t'}}$

(14)

für alle ganzen Zahlen $t'\geqq t$ gültig sind.

Andererseits ist bekannt, daß, wenn $s$ eine reelle Zahl $>1$ bedeutet, die Reihe $\sum \limits _{(t)}{\frac {1}{t^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots$ konvergiert, und daß ${\underset {s=1}{\mathit {L}}}\left\{(s-1)\sum \limits _{(t)}{\frac {1}{t^{s}}}\right\}=1$ ist. Die letztere Gleichung zeigt, daß auch ${\underset {s=1}{\mathit {L}}}\left\{(s-1)\sum \limits _{(t')}{\frac {1}{t'^{s}}}\right\}=1$ ist, wo $t'$ nur alle diejenigen ganzen Zahlen durchlaufen soll, welche oberhalb einer

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1. Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.^{[WS 1]}
2. Sur un théorème relatif aux séries. J. Math. 53 (1857).^{[WS 2]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Dedekind, Richard: Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 4. Auflage, Braunschweig, 1894, Internet Archive
2. Lejeune Dirichlet, Peter Gustav: Sur un théorème relatif aux séries, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 53 (1857), S. 130–132 GDZ Göttingen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 116. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/133&oldid=- (Version vom 31.7.2018)