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Nach den Ausführungen in § 19 S. 104 ist

.

Ferner bestehen wegen

offenbar die Beziehungen:

und da endlich

,

, ,

ist, so ergibt sich durch Multiplikation sämtlicher Gleichungen

.

Das obige Integral besitzt daher den Wert ; hiermit ist der Beweis für den Hilfssatz 10 erbracht.

Wir setzen im folgenden zur Abkürzung

,

so daß eine durch den Körper allein bestimmte und für diesen charakteristische Größe bedeutet.

§ 26. Die Bestimmung der Klassenanzahl durch das Residuum der Funktion für .

Satz 54. Wenn die Anzahl aller Ideale einer Klasse bedeutet, deren Normen ausfallen, so ist

.

Beweis. Ist ein Ideal der zu reziproken Klasse , und durchläuft alle Ideale der Klasse , so stellt das Produkt alle durch teilbaren Hauptideale und jedes nur einmal dar. Setzen wir daher in der Formel des Hilfssatzes 10 ‚ so bedeutet zugleich die Anzahl der Ideale in ‚ für welche ist. Nach Fortheben des Faktors folgt die zu beweisende Formel für .

Da die Zahl von der Wahl der Klasse unabhängig ist, so ergibt sich unmittelbar aus Satz 54 die folgende Tatsache:

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 115. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/132&oldid=- (Version vom 31.7.2018)