Nach den Ausführungen in § 19 S. 104 ist
.
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Ferner bestehen wegen
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offenbar die Beziehungen:
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und da endlich
,
,
,
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ist, so ergibt sich durch Multiplikation sämtlicher Gleichungen
.
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Das obige Integral besitzt daher den Wert
; hiermit ist der Beweis für den Hilfssatz 10 erbracht.
Wir setzen im folgenden zur Abkürzung
,
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so daß
eine durch den Körper allein bestimmte und für diesen charakteristische Größe bedeutet.
§ 26.
Die Bestimmung der Klassenanzahl durch das Residuum der Funktion
für
.
Satz 54. Wenn
die Anzahl aller Ideale einer Klasse
bedeutet, deren Normen
ausfallen, so ist
.
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Beweis. Ist
ein Ideal der zu
reziproken Klasse
, und durchläuft
alle Ideale der Klasse
, so stellt das Produkt
alle durch
teilbaren Hauptideale und jedes nur einmal dar. Setzen wir daher in der Formel des
Hilfssatzes 10
‚ so bedeutet
zugleich die Anzahl der Ideale
in
‚ für welche
ist. Nach Fortheben des Faktors
folgt die zu beweisende Formel für
.
Da die Zahl
von der Wahl der Klasse
unabhängig ist, so ergibt sich unmittelbar aus Satz 54 die folgende Tatsache: