Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/128

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.7

Beweis. In der Reihe $A$, $A^{2}$, …, $A^{h+1}$ stimmen notwendig zwei Klassen, etwa $A^{r}$ und $A^{r+e}$, miteinander überein. Aus $A^{r}A^{e}=A^{r}$ folgt $A^{e}=1$. Ist $e$ zugleich der kleinste Exponent ($>0$) von der Beschaffenheit, daß $A^{e}=1$ wird, so folgt, daß die $e$ Klassen $A^{0}=1$, $A$, …, $A^{e-1}$ sämtlich untereinander verschieden sind. Ist $B$ eine von diesen $e$ Klassen verschiedene Klasse, so sind die $e$ Klassen $B$, $AB$, …, $A^{e-1}B$ wiederum sämtlich untereinander und von den $e$ vorigen Klassen verschieden; die Fortsetzung dieses Verfahrens zeigt, daß $h$ ein Vielfaches von $e$ sein muß, und hieraus folgt der zu beweisende Satz 51.

Die $h$-te Potenz eines jeden beliebigen Ideals ${\mathfrak {a}}$ ist nach diesem Satz stets ein Hauptideal.

Satz 52. Wenn $\alpha$ und $\beta$ beliebige ganze Zahlen sind, so gibt es stets eine sowohl in $\alpha$ wie in $\beta$ aufgehende ganze von $0$ verschiedene Zahl $\gamma$, welche eine Darstellung $\gamma =\xi \alpha +\eta \beta$ gestattet, wo $\xi$, $\eta$ geeignet gewählte ganze Zahlen sind. Die Zahlen $\gamma$, $\xi$, $\eta$ gehören im allgemeinen nicht dem durch $\alpha$ und $\beta$ bestimmten Zahlkörper an [Dedekind (1^[1])].

Satz 53. Es seien $\varkappa$, $\varrho$ und $\varkappa ^{*}$, $\varrho ^{*}$ zwei Zahlenpaare des Körpers $k$; damit ${\mathfrak {j}}=(\varkappa ,\,\varrho )=(\varkappa ^{*},\,\varrho ^{*})$ werde, ist es notwendig und hinreichend, daß man im Körper $k$ vier ganze Zahlen $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ finden kann, deren Determinante $\alpha \delta -\beta \gamma =1$ ist, und durch welche die Gleichungen

${\begin{aligned}\varkappa ^{*}&=\alpha \varkappa +\beta \varrho ,\\\varrho ^{*}&=\gamma \varkappa +\delta \varrho \end{aligned}}$

erfüllt sind [Hurwitz (4^[2])].

Beweis. Daß die genannte Bedingung hinreichend ist, folgt aus dem Umstande, daß diese beiden Gleichungen eine Umkehrung von der Gestalt

${\begin{aligned}\varkappa ^{*}&=\alpha \varkappa +\beta \varrho ,\\\varrho ^{*}&=\gamma \varkappa +\delta \varrho \end{aligned}}$

gestatten, wo $\alpha ^{*}$, $\beta ^{*}$, $\gamma ^{*}$, $\delta ^{*}$ ganze Zahlen sind. Die Bedingung ist ferner auch notwendig. Bezeichnet nämlich $h$ die Anzahl der Idealklassen, so wird ${\mathfrak {j}}^{h}=(\varkappa ^{h},\,\varrho ^{h})=(\varkappa ^{*h},\,\varrho ^{*h})=(\tau )$, wo $\tau$ eine ganze Zahl des Körpers $k$ ist. Es sei

$\tau =\mu \varkappa ^{h}+\nu \varrho ^{h}=\mu ^{*}\varkappa ^{*h}+\nu ^{*}\varrho ^{*h},$

wo $\mu$, $\nu$, $\mu ^{*}$, $\nu ^{*}$ ganze Zahlen in $k$ sind; dann erfüllen offenbar die vier ganzen Zahlen

$\alpha ={\frac {\mu \varkappa ^{*}\varkappa ^{h-1}+\nu ^{*}\varrho \varrho ^{*h-1}}{\tau }}$, $\beta ={\frac {\nu \varkappa ^{*}\varrho ^{h-1}-\nu ^{*}\varkappa \varrho ^{*h-1}}{\tau }}$, $\gamma ={\frac {\mu \varrho ^{*}\varkappa ^{h-1}-\mu ^{*}\varrho \varkappa ^{*h-1}}{\tau }}$, $\delta ={\frac {\nu \varrho ^{*}\varrho ^{h-1}+\mu ^{*}\varkappa \varkappa ^{*h-1}}{\tau }}$

die Bedingung des Satzes 53. Daß $\alpha \delta -\beta \gamma =1$ ist, ergibt sich, wenn man die beiden Determinanten

$-\tau ={\begin{vmatrix}\mu \varkappa ^{h-1},&\varrho \\\nu \varrho ^{h-1},&-\varkappa \end{vmatrix}}$ und $-\tau ={\begin{vmatrix}\varkappa ^{*},&\nu ^{*}\varrho ^{*h-1}\\\varrho ^{*},&-\mu ^{*}\varkappa ^{*h-1}\end{vmatrix}}$

nach dem Multiplikationssatze miteinander zusammensetzt.

---

1. Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.^{[WS 1]}
2. Die unimodularen Substitutionen in einem algebraischen Zahlkörper. Nachr. K. Ges. Wiss. Göttingen 1895.^{[WS 2]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Dedekind, Richard: Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 4. Auflage, Braunschweig, 1894, Internet Archive
2. Hurwitz, Adolf: Die unimodularen Substitutionen in einem algebraischen Zahlenkörper, in: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen – Mathematisch-Physikalische Klasse, 1895, S. 332–356 GDZ Göttingen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 111. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/128&oldid=- (Version vom 31.7.2018)