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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.7

Alle Hauptideale sind dem Ideal (1) äquivalent. Die durch sie gebildete Klasse heißt die Hauptklasse und wird mit $1$ bezeichnet. Wenn ${\mathfrak {a}}\sim {\mathfrak {a}}'$ und ${\mathfrak {b}}\sim {\mathfrak {b}}'$ ist, so ist ${\mathfrak {aa'}}\sim {\mathfrak {bb'}}$. Ist $A$ eine das Ideal ${\mathfrak {a}}$ enthaltende Idealklasse und $B$ eine das Ideal ${\mathfrak {b}}$ enthaltende Klasse, so wird die Idealklasse, welche das Ideal ${\mathfrak {ab}}$ enthält, das Produkt der Idealklassen $A$ und $B$ genannt und mit $AB$ bezeichnet. Es ist offenbar $1B=B$, und umgekehrt folgt aus $AB=B$ notwendig $A=1$.

Es ist bisweilen vorteilhaft, auch Idealquotienten in die Rechnung einzuführen: eine Gleichung von der Gestalt $\textstyle {\frac {\mathfrak {a}}{{\mathfrak {a}}'}}={\frac {\mathfrak {b}}{{\mathfrak {b}}'}}$ oder eine Äquivalenz von der Gestalt $\textstyle {\frac {\mathfrak {a}}{{\mathfrak {a}}'}}\sim {\frac {\mathfrak {b}}{{\mathfrak {b}}'}}$ soll gleichbedeutend sein mit derjenigen Gleichung oder Äquivalenz zwischen Idealen, welche daraus durch Multiplikation mit den in den Nennern stehenden Idealen hervorgeht, d. h. mit der Gleichung ${\mathfrak {ab'}}={\mathfrak {a'b}}$ bez. mit der Äquivalenz ${\mathfrak {ab'}}\sim {\mathfrak {a'b}}$.

Es gilt der Satz:

Satz 49. Es gibt stets eine und nur eine Idealklasse $B$, die, mit einer gegebenen Idealklasse $A$ multipliziert, die Hauptklasse ergibt.

Beweis. Ist ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal der Klasse $A$ und $\alpha$ eine durch ${\mathfrak {a}}$ teilbare ganze Zahl, so daß $\alpha ={\mathfrak {ab}}$ gesetzt werden kann, so ist, wenn $B$ die Klasse des Ideals ${\mathfrak {b}}$ bezeichnet, $AB=1$. Gäbe es nun noch eine andere Klasse $B'$ so, daß $AB'=1$ ist, so folgt durch Multiplikation mit $B$ die Gleichung $ABB'=B'=B$.

Die Klasse $B$ heißt die zu $A$ reziproke Klasse und wird mit $A^{-1}$ bezeichnet.

Es gilt ferner die folgende fundamentale Tatsache:

Satz 50. In jeder Idealklasse gibt es ein Ideal, dessen Norm die absolut genommene Quadratwurzel aus der Körperdiskriminante nicht übersteigt [Minkowski (1^[1], 3^[2])]. Die Anzahl der Idealklassen eines Zahlkörpers ist endlich [Dedekind (1^[3]), Kronecker (16^[4])].

Beweis. Ist $A$ eine beliebige Idealklasse und ${\mathfrak {j}}$ ein Ideal der reziproken Klasse $A^{-1}$, so gibt es nach Satz 46 eine ganze, durch ${\mathfrak {j}}$ teilbare Zahl $\iota$, deren Norm der Bedingung $|n(\iota )|\leqq n({\mathfrak {j}})|{\sqrt {d}}|$ genügt. Setzen wir $\iota ={\mathfrak {ja}}$, so gehört ${\mathfrak {a}}$ der Idealklasse $A$ an, und wegen $|n(\iota )|=n({\mathfrak {j}})n({\mathfrak {a}})$ ist $n({\mathfrak {a}})\leqq |{\sqrt {d}}|$. Es gibt also in der Klasse $A$ ein der letzteren Bedingung genügendes Ideal $a$; da aber in den ganzen rationalen Zahlen, welche $\leqq |{\sqrt {d}}|$ sind, nur eine endliche Anzahl unter einander verschiedener Ideale als Faktoren enthalten ist, so folgt auch die Richtigkeit des zweiten Teiles des Satzes 50.

§ 23. Anwendungen des Satzes von der Endlichkeit der Klassenanzahl.

Der eben bewiesene Satz 50 gestattet mannigfache Folgerungen und Anwendungen, von denen die nachstehenden hervorzuheben sind:

Satz 51. Ist $h$ die Anzahl der Idealklassen, so liefert die $h$-te Potenz einer jeden Klasse stets die Hauptklasse.

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1. Über die positiven quadratischen Formen und über kettenbruchähnliche Algorithmen. J. Math. 107 (1891).^{[WS 1]}
2. Geometrie der Zahlen. Leipzig 1896.
3. Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.^{[WS 2]}
4. Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen. J. Math. 92 (1882).^{[WS 3]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Minkowski, Hermann: Über die positiven quadratischen Formen und über kettenbruchähnliche Algorithmen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 107 (1891), S. 278–297 GDZ Göttingen
2. Dedekind, Richard: Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 4. Auflage, Braunschweig, 1894, Internet Archive
3. Kronecker, Leopold: Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 92 (1882), S. 1–122 GDZ Göttingen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 110. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/127&oldid=- (Version vom 31.7.2018)