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Satz 26. Eine Kongruenz -ten Grades nach dem Primideal von der Gestalt

,     

wo , , …, ganze Zahlen in sind und nach ist, besitzt höchstens nach einander inkongruente Wurzeln.

Satz 27. Bedeutet ein in der rationalen Primzahl aufgehendes Primideal, und ist eine Wurzel der Kongruenz

,     ,

wo , , …, ganze rationale Zahlen bedeuten, so ist auch eine Wurzel dieser Kongruenz.

Beweis: Bezeichnen wir die linke Seite der obigen Kongruenz mit , so gilt nach dem Fermatschen Satze identisch in die Kongruenz nach , und diese Tatsache bedingt die Richtigkeit der Behauptung.

§ 9. Die Primitivzahlen nach einem Primideal.

Eine ganze Zahl des Körpers heißt eine Primitivzahl nach dem Primideal , wenn die ersten Potenzen derselben sämtliche einander inkongruenten, zu primen Zahlen nach darstellen. Es wird wiederum durch die entsprechenden Schlüsse wie in der Theorie der rationalen Zahlen leicht der Nachweis für folgende Tatsache geführt:

Satz 28. Es gibt Primitivzahlen für das Primideal , wo die Anzahl der einander inkongruenten, zu primen rationalen Reste nach bezeichnet.

Eine Theorie der Primitivzahlen für die Potenzen eines Primideals ist bisher noch nicht entwickelt worden; dagegen erkennt man ohne Mühe die folgenden Tatsachen: [Dedekind (6[1])].

Satz 29. Ist ein beliebig vorgelegtes Primideal des Körpers , so kann man stets in eine Zahl finden von der Art, daß jede andere ganze Zahl des Körpers einer gewissen ganzen Funktion von mit ganzen rationalen Koeffizienten kongruent ist nach einer beliebig hohen Potenz des Primideals .

Beweis. Ist eine beliebige Primitivzahl für , so sind offenbar alle ganzen Zahlen in kongruent gewissen ganzzahligen Funktionen von nach . Es sei

,     

die Kongruenz niedrigsten Grades nach mit ganzen rationalen Koeffizienten, welcher genügt. Ist der Grad der Funktion gleich , so kann kein Ausdruck von der Gestalt mit ganzzahligen Koeffizienten , , …, nach kongruent sein; es sei denn, daß sämtliche Koeffizienten , , …, kongruent nach sind. Da andererseits


  1. [356] Über die Diskriminanten endlicher Körper. Abh. K. Ges. Wiss. Göttingen 1882.