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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.3

Satz 26. Eine Kongruenz $r$-ten Grades nach dem Primideal ${\mathfrak {p}}$ von der Gestalt

$\alpha x^{r}+\alpha _{1}x^{r-1}+\cdots +\alpha _{r}\equiv 0$,     $({\mathfrak {p}})$

wo $\alpha$, $\alpha _{1}$, …, $\alpha _{r}$ ganze Zahlen in $k$ sind und $\alpha \equiv \!\!\!\!\!|\,\,\,0$ nach ${\mathfrak {p}}$ ist, besitzt höchstens $r$ nach ${\mathfrak {p}}$ einander inkongruente Wurzeln.

Satz 27. Bedeutet ${\mathfrak {p}}$ ein in der rationalen Primzahl $p$ aufgehendes Primideal, und ist $\alpha$ eine Wurzel der Kongruenz

$ax^{r}+a_{1}x^{r-1}+\cdots +a_{r}\equiv 0$,     $({\mathfrak {p}})$,

wo $a$, $a_{1}$, …, $a_{r}$ ganze rationale Zahlen bedeuten, so ist auch $\alpha ^{p}$ eine Wurzel dieser Kongruenz.

Beweis: Bezeichnen wir die linke Seite der obigen Kongruenz mit $F(x)$, so gilt nach dem Fermatschen Satze identisch in $x$ die Kongruenz $F(x^{p})\equiv (F(x))^{p}$ nach $p$, und diese Tatsache bedingt die Richtigkeit der Behauptung.

§ 9. Die Primitivzahlen nach einem Primideal.

Eine ganze Zahl $\varrho$ des Körpers $k$ heißt eine Primitivzahl nach dem Primideal ${\mathfrak {p}}$, wenn die $p^{f}-1$ ersten Potenzen derselben sämtliche $p^{f}-1$ einander inkongruenten, zu ${\mathfrak {p}}$ primen Zahlen nach ${\mathfrak {p}}$ darstellen. Es wird wiederum durch die entsprechenden Schlüsse wie in der Theorie der rationalen Zahlen leicht der Nachweis für folgende Tatsache geführt:

Satz 28. Es gibt $\Phi (p^{f}-1)$ Primitivzahlen für das Primideal ${\mathfrak {p}}$, wo $\Phi (p^{f}-1)$ die Anzahl der einander inkongruenten, zu $p^{f}-1$ primen rationalen Reste nach $p^{f}-1$ bezeichnet.

Eine Theorie der Primitivzahlen für die Potenzen eines Primideals ${\mathfrak {p}}$ ist bisher noch nicht entwickelt worden; dagegen erkennt man ohne Mühe die folgenden Tatsachen: [Dedekind (6^[1])].

Satz 29. Ist ${\mathfrak {p}}$ ein beliebig vorgelegtes Primideal des Körpers $k$, so kann man stets in $k$ eine Zahl $\varrho$ finden von der Art, daß jede andere ganze Zahl des Körpers einer gewissen ganzen Funktion von $\varrho$ mit ganzen rationalen Koeffizienten kongruent ist nach einer beliebig hohen Potenz ${\mathfrak {p}}^{l}$ des Primideals ${\mathfrak {p}}$.

Beweis. Ist $\varrho ^{*}$ eine beliebige Primitivzahl für ${\mathfrak {p}}$, so sind offenbar alle ganzen Zahlen in $k$ kongruent gewissen ganzzahligen Funktionen von $\varrho ^{*}$ nach ${\mathfrak {p}}$. Es sei

$P(\varrho ^{*})\equiv 0$,     $({\mathfrak {p}})$

die Kongruenz niedrigsten Grades nach ${\mathfrak {p}}$ mit ganzen rationalen Koeffizienten, welcher $\varrho ^{*}$ genügt. Ist der Grad der Funktion $P$ gleich $f'$, so kann kein Ausdruck von der Gestalt $a_{1}+a_{2}\varrho ^{*}+\cdots +a_{f'}\varrho ^{*f'-1}$ mit ganzzahligen Koeffizienten $a_{1}$, $a_{2}$, …, $a_{f'}$ nach ${\mathfrak {p}}$ kongruent $0$ sein; es sei denn, daß sämtliche Koeffizienten $a_{1}$, $a_{2}$, …, $a_{f'}$ kongruent $0$ nach $p$ sind. Da andererseits

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1. Über die Diskriminanten endlicher Körper. Abh. K. Ges. Wiss. Göttingen 1882.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 83. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/100&oldid=- (Version vom 31.7.2018)