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	Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte

Multiplicirt man nun die Gleichungen $(\iota .)\ (\varkappa .),\ (\lambda .)$ mit den Cosinus $C^{11},\ C^{12},\ C^{13}$, und addirt, so ergiebt sich mit Rücksicht auf ($\mu _{5}$.) und ($\nu$.) sofort:

($\xi$.)

$X\ dt=4A^{2}{\mathsf {Dv}}_{1}\left[U-{\frac {\partial }{\partial x_{0}}}\left(\partial _{1}\psi \cdot \delta \psi \right)\right],$

wo $U$ den Werth hat:

($\mathrm {o} _{1}$.)

$U=C^{11}d\left({\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\cdot \partial _{1}\psi \right)+C^{12}d\left({\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}\cdot \partial _{1}\psi \right)+C^{13}d\left({\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}\cdot \partial _{1}\psi \right),$

mithin auch so dargestellt werden kann:

($\mathrm {o} _{2}$.)

${\begin{array}{ll}U=&d\left[\left(C^{11}{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}+C^{12}{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}+C^{13}{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}\right)\cdot \partial _{1}\psi \right]\\\\&\qquad -\partial _{1}\psi \cdot \left({\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}dC^{11}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}dC^{12}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}dC^{13}\right).\end{array}}$

Nun sind die $dC$ offenbar identisch mit den $\delta C$. Mit Rücksicht auf ($\mu _{3}$.) und ($\mu _{4}$.) kann daher die Formel ($\mathrm {o} _{2}$.) auch so dargestellt werden:

($\mathrm {o} _{3}$.)

$U=d\left({\frac {\partial \psi }{\partial x_{0}}}\cdot \partial _{1}\psi \right)-\partial _{1}\psi \cdot \left({\frac {\partial \psi }{\partial z_{0}}}\delta \beta _{0}-{\frac {\partial \psi }{\partial y_{0}}}\delta \gamma _{0}\right).$

Substituirt man aber diesen Werth von $U$ in ($\xi$.), so folgt:

($\pi$.)

${\begin{array}{ll}X\ dt=&4A^{2}{\mathsf {Dv}}_{1}\left[d\left({\frac {\partial \psi }{\partial x_{0}}}\cdot \partial _{1}\psi \right)-{\frac {\partial }{\partial x_{0}}}\left(\partial _{1}\psi \cdot \delta \psi \right)\right]\\\\&\qquad -4A^{2}{\mathsf {Dv}}_{1}\left({\frac {\partial \psi }{\partial z_{0}}}\delta \beta _{0}-{\frac {\partial \psi }{\partial y_{0}}}\delta \gamma _{0}\right)\cdot \partial _{1}\psi ;\end{array}}$

und dies ist die zu beweisende Formel (12.). Aus den eben angestellten Erörterungen geht hervor, dass diese Formel nur dann gültig ist, wenn man in Betreff der Ableitungen

${\frac {\partial }{\partial x_{0}}},\ {\frac {\partial }{\partial y_{0}}},\ {\frac {\partial }{\partial z_{0}}}$

festhält an der in ($\nu$.) gegebenen Definition.

Die Wärmemenge $\left(dQ_{0}^{1}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }$ besitzt, wie schon in (13.) angegeben wurde, den Werth:

($\varrho$.)

$\left(dQ_{0}^{1}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }={\mathsf {Dv}}_{0}\left({\mathfrak {Xu}}_{0}+{\mathfrak {Yv}}_{0}+{\mathfrak {Zw}}_{0}\right)dt,$

Substituirt man hier für ${\mathfrak {X}}dt_{0},\ {\mathfrak {Y}}dt_{0},\ {\mathfrak {Z}}dt_{0}$ die in $(\iota .)\ (\varkappa .),\ (\lambda .)$ gefundenen Ausdrücke, so erhält man:

($\sigma$.)

$\left(dQ_{0}^{1}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=4A^{2}{\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left[V-\partial _{0}\left(\partial _{1}\psi \cdot \delta \psi \right)\right];$

hier hat $V$ die Bedeutung:

($\tau _{1}$.)

$V={\mathfrak {u}}_{0}d\left({\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\cdot \partial _{1}\psi \right)+{\mathfrak {v}}_{0}d\left({\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}\cdot \partial _{1}\psi \right)+{\mathfrak {w}}_{0}d\left({\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}\cdot \partial _{1}\psi \right),$

und kann also auch so dargestellt werden:

Empfohlene Zitierweise:
Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte. B. G. Teubner, Leipzig 1873, Seite 207. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Carl_Gottfried_Neumann_-_Die_elektrischen_Kr%C3%A4fte_225.jpg&oldid=- (Version vom 31.7.2018)