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	Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte

Die Formel (35.a) ist [unter Rücksicht auf (35.d)] identisch mit der ursprünglichen Definition (33.).

Um den Uebergang von (35.a) zu (35.b) zu rechtfertigen, bleibt nachzuweisen, dass das Integral

(36.)

$W=\Sigma \Sigma \ \left[i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}\cdot i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot {\frac {\partial ^{2}w}{\partial s_{0}\partial s_{1}}}\right]$

verschwindet, wie beschaffen die Function $w=w(r)$ auch sein mag. Nun ist [vergl. (12.c)]:

$i_{0}i_{1}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial s_{0}\partial s_{1}}}={\mathfrak {S}}_{0}{\mathfrak {S}}_{1}\left({\mathfrak {u}}_{0}{\mathfrak {u}}_{1}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}\right),$

folglich:

(37.)

$W=\Sigma \Sigma \ {\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left[{\mathfrak {S}}_{0}{\mathfrak {S}}_{1}\left({\mathfrak {u}}_{0}{\mathfrak {u}}_{1}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}\right)\right].$

Setzt man für den Augenblick ${\frac {\partial w}{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}=\lambda$, so wird

${\begin{array}{ll}{\mathfrak {S}}_{0}\left({\mathfrak {u}}_{0}{\mathfrak {u}}_{1}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}\right)&={\mathfrak {u}}_{1}\left({\mathfrak {u}}_{0}{\frac {\partial \lambda }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}+{\mathfrak {v}}_{0}{\frac {\partial \lambda }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}+{\mathfrak {w}}_{0}{\frac {\partial \lambda }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}\right),\\\\&={\mathfrak {u}}_{1}\left[\left({\frac {\partial \lambda {\mathfrak {u}}_{0}}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}+\cdots \right)-\lambda \left({\frac {\partial {\mathfrak {u}}_{0}}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}+\cdots \right)\right].\end{array}}$

Hieraus folgt durch Ausführung der Integration nach ${\mathsf {Dv}}_{0}$ sofort:

$\Sigma \ {\mathsf {Dv}}_{0}\left[{\mathfrak {S}}_{0}\left({\mathfrak {u}}_{0}{\mathfrak {u}}_{1}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}\right)\right]=\Sigma \ {\mathsf {D}}o_{0}\left(\lambda F_{0}{\mathfrak {u}}_{1}\right)+\Sigma \ {\mathsf {Dv}}_{0}\left(\lambda E_{0}{\mathfrak {u}}_{1}\right),$

wo $F_{0},E_{0}$ die Ausdrücke (30.c) repräsentiren. Substituirt man für $\lambda$ seine eigentliche Bedeutung, so erhält man:

$\Sigma \ {\mathsf {Dv}}_{0}\left[{\mathfrak {S}}_{0}\left({\mathfrak {u}}_{0}{\mathfrak {u}}_{1}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}\right)\right]=\Sigma \ {\mathsf {D}}o_{0}\left(F_{0}{\frac {\partial w}{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}{\mathfrak {u}}_{1}\right)+\Sigma \ {\mathsf {Dv}}_{0}\left(E_{0}{\frac {\partial w}{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}{\mathfrak {u}}_{1}\right).$

Hieraus folgt durch Ausführung der Operation ${\mathfrak {S}}_{1}$:

$\Sigma \ {\mathsf {Dv}}_{0}\left[{\mathfrak {S}}_{0}{\mathfrak {S}}_{1}\left({\mathfrak {u}}_{0}{\mathfrak {u}}_{1}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}\right)\right]=\Sigma \ {\mathsf {D}}o_{0}\left(F_{0}{\frac {\partial w}{\partial s_{1}}}i_{1}\right)+\Sigma \ {\mathsf {Dv}}_{0}\left(E_{0}{\frac {\partial w}{\partial s_{1}}}i_{1}\right),$

und endlich durch Ausführung der Summation nach ${\mathsf {Dv}}_{1}$:

(38.)

$W=\Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}o_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left(F_{0}{\frac {\partial w}{\partial s_{1}}}i_{1}\right)+\Sigma \Sigma \ {\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left(E_{0}{\frac {\partial w}{\partial s_{1}}}i_{1}\right).$

Nun war aber vorausgesetzt worden, dass die elektrischen Strömungszustände im Innern der Körper $A$ und $B$ gleichförmig und an

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sind, welche lediglich durch die ponderablen Massen sich bestimmen; hier hingegen die Cosinus von Winkeln, deren Schenkel repräsentirt sind theils durch die von ${\mathsf {Dv}}_{1}$ nach ${\mathsf {Dv}}_{0}$ laufende Linie $r$, theils aber auch durch die in ${\mathsf {Dv}}_{0}$ und ${\mathsf {Dv}}_{1}$ augenblicklich vorhandenen elektrischen Strömungsrichtungen.

Empfohlene Zitierweise:
Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte. B. G. Teubner, Leipzig 1873, Seite 167. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Carl_Gottfried_Neumann_-_Die_elektrischen_Kr%C3%A4fte_185.jpg&oldid=- (Version vom 31.7.2018)